Nacional 2005- P1 N3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
bruno
Mensajes: 202
Registrado: Vie 17 Dic, 2010 12:50 am

Nacional 2005- P1 N3

Mensaje sin leer por bruno » Sab 03 Nov, 2012 4:17 pm

Sean [math] números enteros positivos que satisfacen [math] y [math]. Calcular cuántos son los valores posibles de [math].

bruno
Mensajes: 202
Registrado: Vie 17 Dic, 2010 12:50 am

Re: Nacional 2005- P1 N3

Mensaje sin leer por bruno » Sab 03 Nov, 2012 4:46 pm

Spoiler: mostrar
Por diferencia de cuadrados: [math], pero como [math], entonces para encontrar soluciones a las ecuaciones se puede poner que [math] y [math].

Por lo tanto [math]
[math]
[math]

Ahora, como [math] entonces el minimo valor de [math] es [math] y como [math] es positivo entonces el maximo valor de [math] es [math]. Por lo tanto los posibles valores de [math] van desde [math] hasta [math] inclusive, dando un total de [math] posibles valores.
En el cuadro se muestra por columna una solucion para cada valor de [math] entre [math] y [math]
[math]

Avatar de Usuario
3,14

OFO - Medalla de Plata FOFO 6 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 438
Registrado: Jue 11 Oct, 2012 5:20 pm
Medallas: 5
Nivel: Exolímpico

Re: Nacional 2005- P1 N3

Mensaje sin leer por 3,14 » Mar 09 Dic, 2014 3:43 pm

Spoiler: mostrar
Veamos en primer lugar que la condición del enunciado [math] se puede traducir en que:
[math]
[math]
[math]
Entonces:
[math]
[math]
[math]
[math]

Por otro lado, veamos que:
[math]
[math]
Ahora bien, ¿cuál es el menor valor de [math]?Como equivale a [math] la pregunta equivale a minimizar [math] y [math]. [math] porque [math] y se cumple para [math]. El mínimo de [math] se obtiene con [math] y [math] mínimos, es decir, para [math] y [math]. Por lo tanto [math]
Por lo tanto:
[math]
[math]
Entonces preguntémonos, qué pasaría si [math]. Entonces, en ese caso, como [math] es el mínimo valor que puede tomar [math], entonces la consigna sería imposible. Por lo tanto, para cualquier [math] que cumpla [math], no es posible:
[math]
[math]
Entonces, sí o sí, por lo que dijimos antes, [math].
Entonces hemos acotado al número [math] del siguiente modo:
[math]
Ahora voy a mostrar que es posible encontrar una cuaterna [math] para cada [math] comprendido en ese intervalo.
Pongamos que [math]
Entonces:
[math]
Entonces:
[math]
[math]
Ahora pongamos:
[math]
[math] y resolvamos el sistema:
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
Entonces nos queda la cuaterna:
[math], y la suma de [math] es [math], como queríamos.
Por otro lado, podemos ver que eligiendo un [math] adecuado, podemos obtener cualquier número del intervalo en el que acotamos a [math]. Entonces la solución es:
[math]
[math]

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 472
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Nacional 2005- P1 N3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 12 Oct, 2017 10:37 pm

Spoiler: mostrar
Como [math] y son todos enteros positivos entonces [math]

Tenemos:
[math]
[math]

Entonces:
[math]
[math]

Además:
[math] y [math]

Si [math], entonces [math] y [math]
Absurdo, por lo tanto [math]

Si [math] entonces [math] y [math]
Absurdo, por lo tanto [math]

Reemplazando queda:
[math]
[math]
[math]
[math]

Como [math] entonces [math]
Si [math] tenemos [math]
Si [math] tenemos [math]
Entonces [math]

Veamos que todos los valores cumplen:
[math]

[math]
[math]
[math]

Como [math] entonces [math] y como [math] entonces [math]
Por lo tanto todos los valores cumplen con las desigualdades. Luego, todos los valores de [math] cumplen.

Si [math] es la cantidad de valores de [math], entonces [math]

Finalmente, hay [math] valores posibles de [math]
[math]

Responder