Nacional 2005- P1 N3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.

Nacional 2005- P1 N3

UNREAD_POSTpor bruno » Sab 03 Nov, 2012 4:17 pm

Sean $a>b>c>d$ números enteros positivos que satisfacen $a+b+c+d=502$ y $a^2-b^2+c^2-d^2=502$. Calcular cuántos son los valores posibles de $a$.

bruno
 
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Re: Nacional 2005- P1 N3

UNREAD_POSTpor bruno » Sab 03 Nov, 2012 4:46 pm

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Por diferencia de cuadrados: $(a+b)(a-b)+(c+d)(c-d)=502$, pero como $(a+b)\times 1+(c+d)\times 1=502$, entonces para encontrar soluciones a las ecuaciones se puede poner que $a-b=1$ y $c-d=1$.

Por lo tanto $a+b+c+d=1+b+b+1+d+d=502$
$2(b+d)=500$
$b+d=250$

Ahora, como $b>d$ entonces el minimo valor de $b$ es $126$ y como $d$ es positivo entonces el maximo valor de $b$ es $249$. Por lo tanto los posibles valores de $a$ van desde $127$ hasta $250$ inclusive, dando un total de $250-127+1=124$ posibles valores.
En el cuadro se muestra por columna una solucion para cada valor de $a$ entre $127$ y $250$
$\begin{matrix} a & 127 & 128 & ... & 250 \\ b & 126 & 127 & ... & 249 \\ c & 125 & 124 & ... & 2  \\ d & 124 & 123 & ... & 1\end{matrix}$

bruno
 
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Re: Nacional 2005- P1 N3

UNREAD_POSTpor 3,14 » Mar 09 Dic, 2014 3:43 pm

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Veamos en primer lugar que la condición del enunciado $a>b>c>d$ se puede traducir en que:
$b\leq a-1$
$c\leq a-2$
$d\leq a-3$
Entonces:
$a+b+c+d\leq a+a-1+a-2+a-3$
$502\leq 4a-6$
$4a\geq 508$
$a\geq 127$

Por otro lado, veamos que:
$a^2-b^2+c^2-d^2\geq a^2-(a-1)^2+c^2-d^2$
$a^2-b^2+c^2-d^2\geq 2a-1+c^2-d^2$
Ahora bien, ¿cuál es el menor valor de $c^2-d^2$?Como equivale a $(c-d)(c+d)$ la pregunta equivale a minimizar $c-d$ y $c+d$. $c-d\geq 1$ porque $c>d$ y se cumple para $c=d+1$. El mínimo de $c+d$ se obtiene con $d$ y $c$ mínimos, es decir, para $d=1$ y $c=2$. Por lo tanto $c^2-d^2\geq 2^2-1^2=3$
Por lo tanto:
$a^2-b^2+c^2-d^2\geq 2a-1+3$
$a^2-b^2+c^2-d^2\geq 2a+2$
Entonces preguntémonos, qué pasaría si $2a+2>502$. Entonces, en ese caso, como $2a+2$ es el mínimo valor que puede tomar $a^2-b^2+c^2-d^2$, entonces la consigna sería imposible. Por lo tanto, para cualquier $a$ que cumpla $2a+2>502$, no es posible:
$2a+2>502$
$a>250$
Entonces, sí o sí, por lo que dijimos antes, $a\leq 250$.
Entonces hemos acotado al número $a$ del siguiente modo:
$127\leq a \leq 250$
Ahora voy a mostrar que es posible encontrar una cuaterna $(a,b,c,d)$ para cada $a$ comprendido en ese intervalo.
Pongamos que $c=d+1$
Entonces:
$c^2-d^2=(d+1)^2-d^2=d^2+2d+1-d^2=2d+1$
Entonces:
$a^2-b^2+2d+1=502$
$(a-b)(a+b)=502-2d-1=501-2d=1.(501-2d)$
Ahora pongamos:
$a-b=1$
$a+b=501-2d$ y resolvamos el sistema:
$b=a-1$
$b=501-2d-a$
$a-1=501-2d-a$
$a=251-d$
$b=250-d$
Entonces nos queda la cuaterna:
$(251-d,250-d,d+1,d)$, y la suma de $a, b , c ,d$ es $251-d+250-d+d+1+d=502$, como queríamos.
Por otro lado, podemos ver que eligiendo un $d$ adecuado, podemos obtener cualquier número del intervalo en el que acotamos a $a$. Entonces la solución es:
$127\leq a\leq 250$
$\pi=4\left (1-\frac {1}{3}+\frac {1}{5}-\frac {1}{7}+\frac {1}{9}-...\right )$
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Re: Nacional 2005- P1 N3

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Jue 12 Oct, 2017 10:37 pm

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Como $a>b>c>d$ y son todos enteros positivos entonces $a+b>c+d>0$

Tenemos:
$a^2-b^2+c^2-d^2=502=a+b+c+d$
$a^2-b^2+c^2-d^2=(a+b)(a-b)+(c+d)(c-d)=a+b+c+d$

Entonces:
$(a+b)(a-b)-(a+b)=(c+d)+(c+d)(d-c)$
$(a+b)(a-b-1)=(c+d)(1+d-c)$

Además:
$c>d\Rightarrow c\geq d+1\Rightarrow c-d\geq 1\Rightarrow d-c\leq -1$ y $a>b\Rightarrow a\geq b+1\Rightarrow a-b\geq 1$

Si $d-c<-1$, entonces $1+d-c<0\Rightarrow (c+d)(1+d-c)<0$ y $(a+b)(a-b-1)\geq 0$
Absurdo, por lo tanto $d-c=-1\Rightarrow d=c-1$

Si $a-b>1$ entonces $a-b-1>0\Rightarrow (a+b)(a-b-1)>0$ y $(c+d)(1+d-c)=0$
Absurdo, por lo tanto $a-b=1\Rightarrow b=a-1$

Reemplazando queda:
$a^2-(a-1)^2+c^2-(c-1)^2=502$
$a^2-a^2+2a-1+c^2-c^2+2c-1=502$
$2a+2c=504$
$a+c=252$

Como $a>b>c>d\geq 1$ entonces $2\leq c\leq a-2$
Si $c=2$ tenemos $a=250$
Si $c=a-2$ tenemos $2a-2=252\Rightarrow 2a=254\Rightarrow a=127$
Entonces $127\leq a\leq 250$

Veamos que todos los valores cumplen:
$a+(a-1)+(252-a)+(251-a)=a+a-a-a+252-1+251=251+251=502$

$a^2-(a-1)^2+(252-a)^2-(251-a)^2=$
$=a^2-a^2+2a-1+252^2-504a+a^2-251^2+502a-a^2=$
$=252^2-251^2-1=252+251-1=251+251=502$

Como $127\leq a$ entonces $a>a-1\geq 126>125\geq 252-a>251-a$ y como $a\leq 250$ entonces $251-a\geq 1$
Por lo tanto todos los valores cumplen con las desigualdades. Luego, todos los valores de $127\leq a\leq 250$ cumplen.

Si $S$ es la cantidad de valores de $a$, entonces $S=250-127+1=124$

Finalmente, hay $124$ valores posibles de $a$
$e^{i\pi}+1=0$
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