Nacional 2005- P1 N3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
bruno
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Nacional 2005- P1 N3

Mensaje sin leer por bruno »

Sean [math] números enteros positivos que satisfacen [math] y [math]. Calcular cuántos son los valores posibles de [math].
bruno
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Re: Nacional 2005- P1 N3

Mensaje sin leer por bruno »

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Por diferencia de cuadrados: [math], pero como [math], entonces para encontrar soluciones a las ecuaciones se puede poner que [math] y [math].

Por lo tanto [math]
[math]
[math]

Ahora, como [math] entonces el minimo valor de [math] es [math] y como [math] es positivo entonces el maximo valor de [math] es [math]. Por lo tanto los posibles valores de [math] van desde [math] hasta [math] inclusive, dando un total de [math] posibles valores.
En el cuadro se muestra por columna una solucion para cada valor de [math] entre [math] y [math]
[math]
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3,14

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Re: Nacional 2005- P1 N3

Mensaje sin leer por 3,14 »

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Veamos en primer lugar que la condición del enunciado [math] se puede traducir en que:
[math]
[math]
[math]
Entonces:
[math]
[math]
[math]
[math]

Por otro lado, veamos que:
[math]
[math]
Ahora bien, ¿cuál es el menor valor de [math]?Como equivale a [math] la pregunta equivale a minimizar [math] y [math]. [math] porque [math] y se cumple para [math]. El mínimo de [math] se obtiene con [math] y [math] mínimos, es decir, para [math] y [math]. Por lo tanto [math]
Por lo tanto:
[math]
[math]
Entonces preguntémonos, qué pasaría si [math]. Entonces, en ese caso, como [math] es el mínimo valor que puede tomar [math], entonces la consigna sería imposible. Por lo tanto, para cualquier [math] que cumpla [math], no es posible:
[math]
[math]
Entonces, sí o sí, por lo que dijimos antes, [math].
Entonces hemos acotado al número [math] del siguiente modo:
[math]
Ahora voy a mostrar que es posible encontrar una cuaterna [math] para cada [math] comprendido en ese intervalo.
Pongamos que [math]
Entonces:
[math]
Entonces:
[math]
[math]
Ahora pongamos:
[math]
[math] y resolvamos el sistema:
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
Entonces nos queda la cuaterna:
[math], y la suma de [math] es [math], como queríamos.
Por otro lado, podemos ver que eligiendo un [math] adecuado, podemos obtener cualquier número del intervalo en el que acotamos a [math]. Entonces la solución es:
[math]
[math]
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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2005- P1 N3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Como [math] y son todos enteros positivos entonces [math]

Tenemos:
[math]
[math]

Entonces:
[math]
[math]

Además:
[math] y [math]

Si [math], entonces [math] y [math]
Absurdo, por lo tanto [math]

Si [math] entonces [math] y [math]
Absurdo, por lo tanto [math]

Reemplazando queda:
[math]
[math]
[math]
[math]

Como [math] entonces [math]
Si [math] tenemos [math]
Si [math] tenemos [math]
Entonces [math]

Veamos que todos los valores cumplen:
[math]

[math]
[math]
[math]

Como [math] entonces [math] y como [math] entonces [math]
Por lo tanto todos los valores cumplen con las desigualdades. Luego, todos los valores de [math] cumplen.

Si [math] es la cantidad de valores de [math], entonces [math]

Finalmente, hay [math] valores posibles de [math]
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Fedex

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Re: Nacional 2005- P1 N3

Mensaje sin leer por Fedex »

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Factoricemos
$a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 502$
$(a+b).(a-b) + (c+d).(c-d) = 502$
$(502-(c+d)) . (a-b) + (c+d).(c-d) = 502$
$502.(a-b) - (c+d).(a-b) + (c+d).(c-d) = 502$
$- (c+d).(a-b) + (c+d).(c-d) = 502 - 502.(a-b)$
$(c+d) .((c-d) - (a-b)) = 502.(1-(a-b))$
$(c+d) .(c -d - a+b) = 502.(1-a+b)=R$
Ok, llegados acá tenemos una situación particular. Miremos el lado derecho, como $b+1 \leq a$ entonces $R$ es $\leq0$

Caso 1) $R=0$
$(c+d) .(c -d - a+b) = 502.(1-a+b)=0$
Cómo $502$ y $c+d$ son positivos tenemos que:
$1-a+b=0$
y llegamos a que $a=b+1$
$c-d-a+b=0$
$c-d-1=0$
y llegamos a que $c=d+1$
Primero veamos que esto verifica la 2ª condición.
$a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 502$
$(b+1)^2 -b^2 +(d+1)^2 - d^2 = 502$
$b^2 + 2b + 1 -b^2 + d^2 +2d+1-d^2 = 502$
$2b+1+2d+1= b+1 + b + d+1 +d = a + b+c + d = 502$
Verifica.
Ahora veamos cuantos valores puede tomar $b+1$.
Retomamos desde $2b+1+2d+1 =502$.
$2b+2d=2(b+d)=500$
$d = 250-b$
Como $d < d+1 < b$
$ d + 2 \leq b$
$ 250 - b + 2 = 252 - b \leq b$
$126 \leq b$
$127 \leq a$
Ahora, como $d$ es el menor de todos $1 \leq d$.
$1+b \leq d + b = 250$
$ b \leq 249$
$a \leq 250$
Por lo que juntando ambas: $127 \leq a \leq 250$
Que son $250-127+1= 124$ valores.

Caso 2) $R<0$
Miremos el lado izquierdo.
$(c+d) .(c -d - a+b)$
$(c+d) .(c+b -(a+d)) = (c+d) .(c+b - (502-(c+b)))$
$(c+d).(2(c+b)-502)$
Pero como esto es negativo y $c+d$ es positivo.
$2(c+b) < 502$
$c+b < 251$
Ahora, el lado derecho es múltiplo de $502$, por lo que:
$2(c+d).(c+b) - 502 (c+d) \equiv 2(c+d).(c+b) \equiv 0 \: (mod \: 502)$
Por lo que $502 |2.(c+d)(c+b)$.
Cómo $502 = 2.251$ tenemos que el $(c+d).(c+b)$, que es positivo, tiene que aportar al menos un factor $251$ (que es primo).
Pero:
$c+d < c+b < 251$
Y esto es imposible. Así que este caso no arroja soluciones.

Respuesta: $a$ puede tomar $124$ valores.
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This homie really did 1 at P6 and dipped.
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