Nacional 2004 N1 P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
tuvie

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Nacional 2004 N1 P2

Mensaje sin leer por tuvie » Lun 15 Oct, 2012 9:49 pm

La loteria matemática sortea un numero de [math] digitos, y los ganadores son todos los numeros que coinciden con el sorteado en exactamente [math] posiciones y ademas son multiplos de [math]. Si el numero sorteado es el [math], determinar cuantos numeros ganadores hay.

tuvie

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Re: Nacional 2004 N1 P2

Mensaje sin leer por tuvie » Lun 15 Oct, 2012 9:52 pm

No se me ocurre otra manera mas que ver los casitos y criterio de divisibilidad por [math], pero como ese no lo manejo muy bien, quisiera ver una solucion alternativa a la mia.

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lichafilloy

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Re: Nacional 2004 N1 P2

Mensaje sin leer por lichafilloy » Lun 15 Oct, 2012 10:15 pm

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Los números ganadores seran de la forma:
[math], [math], etc. Con [math] distinto del numero de su respectiva posición correspondiente al numero sorteado. Creo que lo único que queda por hacer es agarrar y hacer los [math] casos uno por uno y ver cual puede ser el valor de [math] segùn el criterio del [math] (sabemos que son a lo sumo 90 casos, 9 por cada cifra).

A mi me dieron [math] casos creo.
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Nacho

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Re: Nacional 2004 N1 P2

Mensaje sin leer por Nacho » Lun 15 Oct, 2012 11:05 pm

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El caso [math] se puede ver a mano. Notemos que [math]. Ahora, sacamos el número del [math]-ésimo lugar desde el cero hacia el uno. Eso es hacer [math]. Y agregar el número [math] en esa posición es entonces [math]. Queremos que eso sea [math] módulo [math]. Eso nos da [math], de donde [math], (donde [math] es el inverso modular de [math]). Como [math], eso va a tener dos soluciones cuando [math], y sólo una en el resto de los casos. Lo único que tenemos que hacer ahora es variar el [math], por lo que serían [math] casos para probar a mano :D.

Si los hacemos, y le sumamos el caso [math] (para el cual solo se puede reemplazar [math]), vemos que hay [math] billetes ganadores.
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Évarist_Galois
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Re: Nacional 2004 N1 P2

Mensaje sin leer por Évarist_Galois » Lun 02 Mar, 2020 12:37 am

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Como los números ganadores se tienen que corresponder con exactamente 9 cifras del número sorteado, se puede entender el problema como:

"hallar todos los múltiplos de potencias de 10 que que al sumarlos o restarlos a 1234567890 resulte un múltiplo de 7"

o, expresado simbólicamente, $(1234567890\pm k·10^{n})\equiv 0\ (mod \ 7)$

Como $1234567890\equiv 3\ (mod \ 7)$, entonces la fórmula anterior es equivalente a:
$$(3\pm k·10^{n})\equiv0\ (mod \ 7)$$
de donde se deduce que:

$k·10^{n}\equiv3\ (mod\ 7)$, si $k·10^{n}$ se resta, o
$k·10^{n}\equiv4\ (mod\ 7)$, si $k·10^{n}$ se suma.

Defino $J_{n}$ tal que: $10^{n} \equiv J_{n}\ (mod\ 7)$

Vamos ahora por el primer caso:
$$k·10^{n} \equiv 3\ (mod\ 7)$$
remplazo por la equivalencia anterior y resulta:
$$k·J_{n} \equiv3\ (mod\ 7)$$

Ahora hago la lista de los posibles de pares $(k,J_{n})$ que cumplen la ecuación: $(1,3)$, $(2,5)$, $(3,1)$, $(4,6)$, $(5,2)$, $(6,4)$, $(8,3)$, $(9,5)$.

Enumero los valores de $J_{n}$, para $0 \leq n \leq 9$, cada uno con sus respectivos valores de $k$. Hay que recordar que $k$ regula la cifra que se restará, mientras $10^{n}$ establece que cifra de $1234567890$ a la que se le restará $k$. Por ende, esta última cifra debe ser mayor o igual que $k$.

$J_{0}=1$, dado que la cifra de unidades es $0$, no se le puede restar ningun $k$.
$J_{1}=3$, como la cifra de decenas es 9, se puede restar $k=1$ o $k=8$.
$J_{2}=2$, resulta $k=5$.
$J_{3}=6$, $k=4$
$J_{4}=4$, $k=6$
$J_{5}=5$, $k=2$
$J_{6}=1$, $k=3$
$J_{7}=3$, $k=1$
$J_{8}=2$, no se puede restar ningún $k$
$J_{9}=6$, tampoco se puede restar ningún $k$.

Se realiza un proceso análogo para el segundo caso, es decir, la suma.
$$k·10^{n} \equiv 4\ (mod\ 7)$$
Remplazo según la definición de $J_{n}$
$$k·J_{n} \equiv 4\ (mod\ 7)$$
La lista de posibles de pares $(k,J_{n})$ que cumplen la ecuación es: $(1,4)$, $(2,2)$, $(2,9)$, $(3,6)$, $(5,5)$, $(6,3)$, $(8,4)$.

También aquí hago una lista con los $J_{n}$, para $0 \leq n \leq 9$, y sus respectivos valores de $k$. Hay que recordar que la suma que genere $k·10^{n}$ debe ser menor o igual que $9$.

$J_{0}=1$, como la cifra de unidades es $0$, se puede sumar $k= 4$
$J_{1}=3$, como la cifra de decenas es 9, no se le puede sumar ningún $k$
$J_{2}=2$, no se le puede sumar ningún $k$
$J_{3}=6$, no se le puede sumar ningún $k$
$J_{4}=4$, resulta $k=1$
$J_{5}=5$, no se puede sumar ningún $k$
$J_{6}=1$, $k=4$
$J_{7}=3$, $k=6$
$J_{8}=2$, $k=2$
$J_{9}=6$, $k=3$

En total, los números ganadores de la lotería son $14$: $1234567894$, $1234567880$, $1234567810$, $1234567390$, $1234563890$, $1234507890$, $1234577890$, $1234367890$, $1231567890$, $1238567890$, $1224567890$, $1294567890$, $1434567890$, $4234567890$.

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