Nacional 2000- P4 N3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
bruno
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Nacional 2000- P4 N3

Mensaje sin leer por bruno »

Determinar cuál es la cantidad de pares de números naturales $(a,b)$ que verifican simultáneamente que $4620$ es múltiplo de $a$, $4620$ es múltiplo de $b$ y $b$ es múltiplo de $a$.
Squee
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Re: Nacional 2000- P4 N3

Mensaje sin leer por Squee »

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2 2
3
5
7
11

a*x=4620
b*y=4620


Ya que elegir un divisor de 4620, es o mismo que elegir una potencia de uno de sus primos divisores, de 0 hasta la maxima potencia que este alcance.
Como todos alcanzan la potencia 1 menos el dos, es 2^4 por el 3 el 5 el 7 y el 11 y 3 por el 2
O sea 48 posibles.

Hay 48 a posibles (todos los divisores del 4620).

2 2 3 5 7 11

Vamos a pensarlo con el 1155 despues contamos los casos particulares que faltan.

3 5 7 11

16 posibilidades posibles de A y Bs.
Son de la forma (1+2)^4
1+4*2+6*4+4*8+16=3^4
Ahora vamos a pensar, por cada una de estas posibilidades hay si agregamos el dos.
Por cada una de estas posibilidades, hay 3 posibilidades:
A esta multiplicado por 2^0, 2^1 y 2^2
En la posibilidad 1 hay tres posibilidades de B, en la dos hay dos, y en la tres hay una.
O sea 6 posibilidades.
Entonces la cantidad de posibilidades es 1458.

Bueno otro dia verifico no haber mandado fruta, soy un irresponsable que no deberia estar boldueando aca :(, pero es un vicio esto
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Ivan

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Re: Nacional 2000- P4 N3

Mensaje sin leer por Ivan »

Queremos encontrar la cantidad de pares [math] tales que [math] divide a [math] y [math] divide a [math] (la condición [math] divide a [math] es consecuencia de las otras dos).

Para cada valor posible de [math] hay [math] valores posibles de [math], donde [math] es la cantidad de divisores de [math].

Tenemos [math]. Ahora hay varias opciones. Una es hacer la cuenta a mano ([math] tiene [math] divisores, es bastante molesto pero no imposible). Separando en casos con cuidado (por ejemplo mirando los [math] múltiplos de [math] por un lado y los demás por otro) no es tan terrible.

Muestro una alternativa sin hacer la cuenta a mano.

Decimos que una función [math] es multiplicativa si para todos [math] coprimos vale que [math].

Es fácil ver que [math] es una función multiplicativa.

Lema: Supongamos que [math] es multiplicativa. Llamemos [math] a la suma de [math] aplicada a todos los divisores de [math], o sea [math]. Entonces [math] es multiplicativa.

(Idea de la) Demostración: Si [math] y [math] son coprimos entonces un divisor de [math] es un producto de un divisor de [math] y un divisor de [math]. Todo producto de un divisor de [math] y un divisor de [math] es un divisor de [math]. Como estos divisores son coprimos (porque [math] y [math] lo son) se puede usar que [math] es multiplicativa y factorizando queda lo que queremos.


Ahora aplicando el lema a la función multiplicativa [math] tenemos que [math] definida como la suma de [math] aplicada a todos los divisores de [math] es una función multiplicativa.

Queremos calcular [math].

Si [math] es primo [math]. Además [math].

Entonces
[math]




Acá hay más teoría sobre funciones multiplicativas.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
tuvie

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Re: Nacional 2000- P4 N3

Mensaje sin leer por tuvie »

Si tengo tiempo publico la solucion casosa, ya que es bastante larga :)
Squee
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Re: Nacional 2000- P4 N3

Mensaje sin leer por Squee »

Joya mi solucion estaba bien pero hice mal una cuenta al final, igual si venias siguiendome te dabas cuenta de que me sobro un tres xD, muy apurado estaba
En fin...
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jhn

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Re: Nacional 2000- P4 N3

Mensaje sin leer por jhn »

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La condición es [math], por lo tanto debemos sumar, para cada divisor [math] de 4620, el número de divisores de [math]. Como [math], cada [math] es de la forma [math], con [math] y [math], y tiene [math] divisores. Por lo tanto la respuesta es

[math]

[math]
1  
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2000- P4 N3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Más Combinatoria que Teoría de Números
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Sea [math] la cantidad de pares [math] que cumplen las condiciones del enunciado. Como [math] y [math], entonces [math] para cualquier elección de [math]. Entonces, lo que queremos es contar todos los divisores de cada divisor de [math]. Se tiene [math].

Para cada posible exponente del [math], con los otros primos puede pasar:

Caso [math]: Dejamos con exponente [math] a uno
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Entonces el número tiene [math] divisores, hay [math] posibles formas de elegir los números, entonces hay [math] posibles pares [math]
Caso [math]: Dejamos con exponente [math] a dos
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Entonces el número tiene [math] divisores, hay [math] posibles formas de elegir los números, entonces hay [math] posibles pares [math]
Caso [math]: Dejamos con exponente [math] a tres
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Entonces el número tiene [math] divisores, hay [math] posibles formas de elegir los números, entonces hay [math] posibles pares [math]
Caso [math]: Dejamos con exponente [math] a cuatro
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Entonces el número tiene [math] divisor, hay [math] forma de elegir los números, entonces hay [math] posible par [math]
Caso [math]: Dejamos con exponente [math] a todos
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Entonces el número tiene [math] divisores, hay [math] forma de elegir los números, entonces hay [math] posibles pares [math]
Si [math] tiene exponente [math] multiplicamos esa cantidad por [math], si [math] tiene exponente [math] multiplicamos esa cantidad por [math], si [math] tiene exponente [math] multiplicamos esa cantidad por [math]. Entonces hay [math] pares [math] que cumplen las condiciones.

Finalmente [math]
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Monazo

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Re: Nacional 2000- P4 N3

Mensaje sin leer por Monazo »

Una solución senciila de entender
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Notemos que $4620=2^2.3.5.7.11$

Ahora lo razonamos de la siguiente manera. Notemos que la cantidad de veces que aparece cada primo en $a$, es menor o igual a la cantidad de veces que aparece en $b$, y a la vez este es menor que la cantidad de veces que aparece en $4620$.

Para cualquier primo con exponente $1$, existen 3 posibilidades:
1) El primo no está en $b$ y por lo tanto tampoco en $a$.
2) El primo aparece $1$ vez en $b$ y no aparece en $a$.
3) El primo aparece $1$ ves en $b$ y aparece $1$ vez en $a$.

Para el primo con exponente $2$, que es justamente el $2$, realizamos el mismo razonamiento.
1) Aparece $0$ veces en $b$, y $0$ en $a$.
2) Aparece $1$ vez en $b$, y $0$ en $a$.
3) Aparece $1$ vez en $b$, y $1$ en $a$.
4) Aparece $2$ veces en $b$, y $0$ en $a$.
5) Aparece $2$ veces en $b$, y $1$ en $a$.
6) Aparece $2$ veces en $b$, y $2$ en $a$.

Finalmente, la cantidad de maneras que se puede realizar es: $6.3.3.3.3=486$

1  
Soy una Estufa en Piloto
:shock:
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