Nacional 2000- P4 N3
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• Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Nacional • 2000 • Nivel 3Nacional 2000- P4 N3
Determinar cuál es la cantidad de pares de números naturales $(a,b)$ que verifican simultáneamente que $4620$ es múltiplo de $a$, $4620$ es múltiplo de $b$ y $b$ es múltiplo de $a$.
Re: Nacional 2000- P4 N3
Queremos encontrar la cantidad de pares [math] tales que [math] divide a [math] y [math] divide a [math] (la condición [math] divide a [math] es consecuencia de las otras dos).
Para cada valor posible de [math] hay [math] valores posibles de [math], donde [math] es la cantidad de divisores de [math].
Tenemos [math]. Ahora hay varias opciones. Una es hacer la cuenta a mano ([math] tiene [math] divisores, es bastante molesto pero no imposible). Separando en casos con cuidado (por ejemplo mirando los [math] múltiplos de [math] por un lado y los demás por otro) no es tan terrible.
Muestro una alternativa sin hacer la cuenta a mano.
Decimos que una función [math] es multiplicativa si para todos [math] coprimos vale que [math].
Es fácil ver que [math] es una función multiplicativa.
Lema: Supongamos que [math] es multiplicativa. Llamemos [math] a la suma de [math] aplicada a todos los divisores de [math], o sea [math]. Entonces [math] es multiplicativa.
(Idea de la) Demostración: Si [math] y [math] son coprimos entonces un divisor de [math] es un producto de un divisor de [math] y un divisor de [math]. Todo producto de un divisor de [math] y un divisor de [math] es un divisor de [math]. Como estos divisores son coprimos (porque [math] y [math] lo son) se puede usar que [math] es multiplicativa y factorizando queda lo que queremos.
Ahora aplicando el lema a la función multiplicativa [math] tenemos que [math] definida como la suma de [math] aplicada a todos los divisores de [math] es una función multiplicativa.
Queremos calcular [math].
Si [math] es primo [math]. Además [math].
Entonces
Acá hay más teoría sobre funciones multiplicativas.
Para cada valor posible de [math] hay [math] valores posibles de [math], donde [math] es la cantidad de divisores de [math].
Tenemos [math]. Ahora hay varias opciones. Una es hacer la cuenta a mano ([math] tiene [math] divisores, es bastante molesto pero no imposible). Separando en casos con cuidado (por ejemplo mirando los [math] múltiplos de [math] por un lado y los demás por otro) no es tan terrible.
Muestro una alternativa sin hacer la cuenta a mano.
Decimos que una función [math] es multiplicativa si para todos [math] coprimos vale que [math].
Es fácil ver que [math] es una función multiplicativa.
Lema: Supongamos que [math] es multiplicativa. Llamemos [math] a la suma de [math] aplicada a todos los divisores de [math], o sea [math]. Entonces [math] es multiplicativa.
(Idea de la) Demostración: Si [math] y [math] son coprimos entonces un divisor de [math] es un producto de un divisor de [math] y un divisor de [math]. Todo producto de un divisor de [math] y un divisor de [math] es un divisor de [math]. Como estos divisores son coprimos (porque [math] y [math] lo son) se puede usar que [math] es multiplicativa y factorizando queda lo que queremos.
Ahora aplicando el lema a la función multiplicativa [math] tenemos que [math] definida como la suma de [math] aplicada a todos los divisores de [math] es una función multiplicativa.
Queremos calcular [math].
Si [math] es primo [math]. Además [math].
Entonces
[math]
Acá hay más teoría sobre funciones multiplicativas.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Re: Nacional 2000- P4 N3
Joya mi solucion estaba bien pero hice mal una cuenta al final, igual si venias siguiendome te dabas cuenta de que me sobro un tres xD, muy apurado estaba
En fin...
En fin...
Re: Nacional 2000- P4 N3
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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Gianni De Rico
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