Problema 2. Regional 1997 N2

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AgustinChenna.
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Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por AgustinChenna. » Vie 27 Jul, 2012 2:56 am

Sean [math] un triángulo, [math] el punto medio [math] y [math] el punto medio de [math]. La recta [math] intersecta al lado [math] en [math]. Si [math], calcular [math].

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AgustinChenna.
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Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por AgustinChenna. » Vie 27 Jul, 2012 2:57 am

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Imagen
Trazo la base media del lado [math] del triangulo [math] que corta a [math] en [math] (y pasa por [math] que por enunciado es punto medio de [math]). Luego con el triangulo [math] tenemos que [math] es la mediana del lado [math] y [math] es la mediana del lado [math]. Sea [math] el punto de intersección de [math] con [math], como las medianas se cortan en proporción [math], tenemos que [math] y [math]. Luego, como [math] además es la intersección de la base media paralela a [math] con una ceviana trazada desde [math] y que corta al lado [math], tenemos que [math]. Finalmente, [math]

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Turko Arias

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Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 27 Jul, 2012 3:50 am

Gran hora para subir problemas Chenny! jajajajaj

MaxeRap
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Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por MaxeRap » Sab 07 Sep, 2013 12:05 pm

Perdon por mi ignorancia, pero una pregunta, ¿como te diste cuenta de que las medianas se cortan en proporcion 2/1?, es lo único que no me cierra. Saludos.
¿Sabías que de la serie de Fibonacci, el cociente entre dos valores consecutivos -el mayor sobre el menor- se aproxima al numero áureo?

tuvie

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Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por tuvie » Sab 07 Sep, 2013 12:23 pm

Es una propiedad del baricentro (intersección de las medianas): este punto corta a las medianas en la proporción 2:1, con el segmento interior de la mediana que une el vertice con el baricentro mas grande que el otro.

joa.fernandez

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Re: Problema 2. Regional 1997 N2

Mensaje sin leer por joa.fernandez » Mié 01 May, 2019 12:22 pm

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Por Menelao en $\triangle{AOE}$ tenemos que:
$$\frac{AC}{CE}\frac{BE}{BO}\frac{OD}{AD}=1$$
Pero, como $E$ y $O$ son puntos medios:
$\frac{2}{1}\frac{2}{1}\frac{OD}{AD}=1$ , de donde: $4OD=AD$
$AD=AO+OD$
También $AO=12$, entonces:
$4OD=12+OD$ , luego:
$OD=4$
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