Se tiene un rectángulo [math]ABCD de lados [math]AB = CD = 65 y [math]BC = AD = 156. Se traza la circunferencia de centro [math]A que pasa por [math]C. La recta [math]BD corta a la circunferencia en [math]E y [math]F.
Sea [math]h la altura del triángulo [math]BAD trazada desde [math]A y [math]H su intersección con [math]BD, tenemos que [math]\frac{156 \cdot 65}{2} = \frac{169 \cdot h}{2} de donde obtenemos que la [math]AH = 60. Luego, sea [math]G la intersección de la recta [math]EA con la circunferencia, y sea [math]I la intersección de la recta [math]FA con la circunferencia. Se forma el cuadrilátero cíclico [math]FEIG que ademas tiene diagonales que se cortan en su punto medio (ya que [math]EA es radio y [math]EG es diametro), por lo que tenemos dos triángulos rectángulos [math]FGI y [math]FEI. Por base media, [math]EI = 2 HA = 120. Además, el radio de la circunferencia es [math]AC^2 = 156^2 + 65^2 = \sqrt{28561} = 169 => [math]FI = 2 \cdot 169 = 338. Por Pitágoras en el triángulo [math]FEI tenemos: [math]120^2 + EF^2 = 338^2 , de donde [math]EF = \sqrt{99844} .
Como el triángulo $ABC$ es rectángulo, usamos el teorema de Pitágoras para sacar la hipotenusa $AC$ que es la diagonal del rectángulo $ABCD$ y el radio de la circunferencia: $AB^2+ BC^2=AC^2=65^2+156^2=28561$, pero entonces $AC= \sqrt{28561}=169$. Sea $AP$ la altura del triángulo $ABD$ correspondiente al lado $BD$, calculamos el área del triángulo $ABD$ como $\frac{AB \times AD }{2}=5070$ que es lo mismo que $\frac{BD \times AP }{2}$, pero como conocemos el lado $BD$ podemos despejar $AP$ que nos da $60$. Trazamos el diámetro de la circunferencia de centro $A$ que pasa por $F$ y al otro punto de intersección con la circunferencia lo llamamos $Q$. Es conocido que cuando tomamos el diámetro de una circunferencia y lo unimos con cualquier punto de la misma, el ángulo formado siempre va a ser $90º$, por lo que el triángulo $EFQ$ es rectángulo en $E$. Como $AP$ es altura de $ABD$ es perpendicular a $EF$ pero además comparten el ángulo $F$, por ende los triángulos $AFP$ y $EFQ$ tienen los mismos ángulos por lo que son semejantes y como $AF$ es radio y $FQ$ es diámetro la razón de semejanza es $2$ y entonces $QE=2AP=120$ y $FQ=2FA=338$. Ahora hacemos Pitágoras en el triángulo $EFQ$: $FQ^2=EQ^2+EF^2$ que es igual a $338^2=120^2+EF^2$ por lo que $EF^2=114244-14400= 99844$, y queda $EF=\sqrt{99844}$.
1: Trazamos el radio (EA) ̅ y (EF) ̅, formando así un triángulo isósceles EAF
2: Sea (AH) ̅ la altura trazada desde A, por propiedad de un triángulo isósceles, la misma va a cortar al segmento (EF) ̅ en 2 partes iguales.
3: Por teorema de Pitágoras a^2+b^2=c^2
156^2+65^2=(DB) ̅^2 ⇒ (DB) ̅ = 169
4: Usando la formula del área de un triángulo (b . h)/2
(156 .65)/2 = ((DB) ̅ .(AH) ̅)/2 ⇒ (156 .65)/2 = (169 . (AH) ̅)/2 ⇒ (156 . 65)/169=(AH) ̅ ⇒(AH) ̅ = 60
5: Por teorema de Pitágoras a^2+b^2=c^2
(AH) ̅^2+(EH) ̅^2=(EA) ̅^2 ⇒ 60^2+(EH) ̅^2=169^2 ⇒ (EH) ̅ = √24961
Nota: (EA) ̅= 169 ya que (DB) ̅ = (AC) ̅ = 169 por propiedad de las diagonales de un rectángulo, y como (AC) ̅ es radio y (EA) ̅ también, se llega a que (AC) ̅ = (EA) ̅ = 169
6: Como (EH) ̅ =(HF) ̅ por ser triangulo isósceles, (EF) ̅ = 2 .(EH) ̅ ⇒ (EF) ̅ = 2√24961
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