Problema 3 Selectivo de Ibero 2009

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Nacho

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Problema 3 Selectivo de Ibero 2009

Mensaje sin leer por Nacho » Dom 22 Jul, 2012 7:00 pm

Sea [math] un triángulo isósceles con [math]. La circunferencia inscrita es tangente a los lados [math] y [math] en [math] y [math], respectivamente. Una recta (distinta de [math]) pasa por [math] y corta a la circunferencia inscrita en [math] y [math]. Las rectas [math] y [math] cortan a la recta [math] en [math] y [math], respectivamente. Demostrar que [math].
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Nacho

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Re: Problema 3 Selectivo de Ibero 2009

Mensaje sin leer por Nacho » Dom 22 Jul, 2012 7:12 pm

Spoiler: mostrar
Sea [math] el punto de tangencia de la inscripta con [math]. Por potencia de un punto [math] y como [math] es isósceles, tenemos que [math]. Notemos que el cuadrilátero [math] es armónico. Esto se debe a que [math] y [math] son tangentes a la circunferencia y [math] están alineados con [math] y [math] sobre la circunferencia. Es decir, [math]. Proyectando por [math], se sigue que [math], lo que implica que [math] es punto medio de [math] y estamos. [math]
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Re: Problema 3 Selectivo de Ibero 2009

Mensaje sin leer por amcandio » Dom 22 Jul, 2012 10:15 pm

Spoiler: mostrar
Sea [math] punto de tangencia de la circ con el lado [math].
[math]
[math]
[math]
De estos resultados obtenemos
[math]
[math]
Por lo tanto
[math], de donde el cuadrilatero [math] es ciclico, siguiendo que [math].
Como [math] y [math], los triangulos [math] y [math] son congruentes.
Esto implica que [math], pero como [math], nos queda [math]. CQD
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Re: Problema 3 Selectivo de Ibero 2009

Mensaje sin leer por amcandio » Dom 22 Jul, 2012 10:42 pm

Es la misma configuracion que el P2 del selectivo de imo de 2010
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jonyayala_95
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Re: Problema 3 Selectivo de Ibero 2009

Mensaje sin leer por jonyayala_95 » Lun 23 Jul, 2012 10:48 am

amcandio estas repitiendo el [math] (?)

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Re: Problema 3 Selectivo de Ibero 2009

Mensaje sin leer por amcandio » Lun 23 Jul, 2012 2:32 pm

jonyayala_95 escribió:amcandio estas repitiendo el [math] (?)
Fixed, gracias por avisar xD
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Gianni De Rico

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Re: Problema 3 Selectivo de Ibero 2009

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 05 May, 2018 6:41 pm

Spoiler: mostrar
Si $G$ está entre $A$ y $F$ utilizamos la siguiente demostración, si $F$ está entre $A$ y $G$, cambiamos intercambiamos los roles de $G,F$ y $K,L$ en la demostración.

Sea $H$ el punto de tangencia de $AC$ con el incírculo de $\triangle ABC$. Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$. Sea $A\widehat CB=2\alpha$. Como $I\widehat FC=I\widehat HC=90°$ tenemos $F\widehat IH=180°-2\alpha$.
Si $F$ está en el arco $EH$ que no contiene a $D$, entonces $K\widehat FH=E\widehat FH=180°-\frac{180°-2\alpha}{2}=90°+\alpha$. Si $F$ está en el arco $EH$ que contiene a $D$, entonces $E\widehat FH=\frac{180°-2\alpha}{2}=90°-\alpha$ y $K\widehat FH=180°-(90°-\alpha)=90°+\alpha$. Como $\triangle ABC$ es isósceles en $C$, entonces $B\widehat AC=90°-\alpha=K\widehat AH\Rightarrow KAHF$ es cíclico.

Por ser tangentes al circuncírculo desde $C$, tenemos que $CH=CE$ y por Thales $HE\parallel AB\parallel KL$. Por alternos internos, $K\widehat LE=L\widehat EH=G\widehat EH$; por ser $EFGH$ cíclico, $G\widehat EH=G\widehat FH$; por ser $KAHF$ cíclico, $H\widehat FG=H\widehat FA=H\widehat KA=H\widehat KL$. Luego, $KEHL$ es un trapecio isósceles, por lo tanto la mediatriz de $KL$ coincide con la mediatriz de $HE$, pero la mediatriz de $HE$ pasa por $C$ y es perpendicular a $HE\parallel AB$, entonces la mediatriz de $HE$ pasa por $C$ y es perpendicular a $AB$, es decir que es la mediatriz de $AB$. Como $\triangle ABC$ es isósceles en $C$, tenemos que $D$ está en la mediatriz de $AB$, entonces $D$ está en la mediatriz de $KL\Rightarrow DK=DL$.
[math]

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