P5-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina
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En un triángulo acutángulo [math] sea [math] el punto medio del lado [math] y [math], [math] los pies de las alturas [math], [math], respectivamente.
La circunferencia que pasa por [math], [math], [math] es tangente al lado [math].
Demostrar que la circunferencia que pasa por [math], [math], [math] es tangente a la prolongación del lado [math].
La circunferencia que pasa por [math], [math], [math] es tangente al lado [math].
Demostrar que la circunferencia que pasa por [math], [math], [math] es tangente a la prolongación del lado [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Re: P5-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Re: P5-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina
Otra solución posible es demostrando que la circunscripta de [math] es tangente a [math] si y solamente si [math].
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- jorge.tipe
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Re: P5-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina
En Perú también tomamos este problema, y recuerdo que alguien hizo una solución con inversión, pero de esta forma se prueba solo la tangencia, en cambio, el problema pide demostrar que la circunferencia es tangente a la prolongación.Ivan escribió:Esta solución es muy corta y simple, pero usa inversión.
Sea [math] la circunferencia de centro [math] y radio [math].
La inversión por [math] manda la circunferencia que pasa por [math], [math] y [math] a la recta [math].
Además, la inversión por [math] manda la recta [math] a la circunferencia que pasa por [math], [math] y [math].
La inversión preserva tangencias. Lo que queríamos probar ahora es inmediato.
Saludos.
Re: P5-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina
Me olvidé de esojorge.tipe escribió:el problema pide demostrar que la circunferencia es tangente a la prolongación.
Si la circunscripta de [math] es tangente a [math] en [math] y la circunscripta de [math] es tangente a [math] en [math], tenemos que [math] y [math] son inversos.
Entonces [math], [math], [math] están alineados. Como [math] está en el lado [math] y [math] está en el lado [math] sigue que [math] está en la prolongación del lado [math], que es lo que faltaba ver.
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Re: P5-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina
Finalmente posteo la caracterización de los triángulos donde vale la hipótesis del problema
La idea para la vuelta es de Prillo.
Notemos que cómo la caracterización es simétrica en [math] y [math] esto da otra demostración del problema.
Afirmación:
Sea [math] un triángulo, [math] el punto medio de [math] y [math] el pie de la perpendicular desde [math] a [math].
Entonces la circunferencia circunscripta de [math] es tangente a la recta [math] [math] [math].
Demostración:
Primero probamos la ida [math].
Llamemos [math] a la circunscripta de [math]. Supongamos que [math] es tangente a [math] en [math].
Como [math] no está entre [math] y [math], tenemos que [math].
Tenemos
Entonces tenemos
Ahora probemos la vuelta [math].
Supongamos que [math]
Sean [math] y [math] las tangentes a [math] que pasan por [math]. Sean [math] y [math].
Por [math] aplicado a [math] y [math] tenemos [math] y [math].
Pero notemos que el lugar geométrico de los puntos [math] tales que [math] es una elipse.
Entonces [math] son los puntos de intersección de esa elipse con la recta [math].
Cómo [math] también es punto de intersección de la elipse y [math], debe valer [math] o [math]. Con esto queda probada la vuelta.
Comentario: Usamos que [math] no está entre [math] y [math]. Una demostración de esto es haciendo la misma cuenta de la solución, pero con [math] para llegar a un absurdo. Lo pongo en un spoiler por si a alguien le interesa
La idea para la vuelta es de Prillo.
Notemos que cómo la caracterización es simétrica en [math] y [math] esto da otra demostración del problema.
Afirmación:
Sea [math] un triángulo, [math] el punto medio de [math] y [math] el pie de la perpendicular desde [math] a [math].
Entonces la circunferencia circunscripta de [math] es tangente a la recta [math] [math] [math].
Demostración:
Primero probamos la ida [math].
Llamemos [math] a la circunscripta de [math]. Supongamos que [math] es tangente a [math] en [math].
Como [math] no está entre [math] y [math], tenemos que [math].
Tenemos
[math]
y
[math]
(la segunda igualdad vale por potencia de un punto, ya que [math]).Entonces tenemos
[math]
Para calcular [math] usamos la fórmula de la mediana. En el anteúltimo paso usamos desigualdad triangular (al tomar raíz cuadrada).Ahora probemos la vuelta [math].
Supongamos que [math]
Sean [math] y [math] las tangentes a [math] que pasan por [math]. Sean [math] y [math].
Por [math] aplicado a [math] y [math] tenemos [math] y [math].
Pero notemos que el lugar geométrico de los puntos [math] tales que [math] es una elipse.
Entonces [math] son los puntos de intersección de esa elipse con la recta [math].
Cómo [math] también es punto de intersección de la elipse y [math], debe valer [math] o [math]. Con esto queda probada la vuelta.
Comentario: Usamos que [math] no está entre [math] y [math]. Una demostración de esto es haciendo la misma cuenta de la solución, pero con [math] para llegar a un absurdo. Lo pongo en un spoiler por si a alguien le interesa
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Re: P5-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina
Muy lindo problema, se me ocurrió una idea interesante pero me llevó más de una semana poder rematarla. De todas formas les dejo otra forma de resolver el problema.
- Spoiler: mostrar Primero vamos a definir los siguientes puntos que nos van a ayudar a resolver el problema.
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