P3-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Matias Martos
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Re: P3-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina

Mensaje sin leer por Matias Martos » Mar 03 Ene, 2017 1:36 am

Matías V5 escribió:
Matias Martos escribió:Me podrian explicar como demuestran cada cosa, que propiedad y que criterios usan, ya que comenzaste a explicar la solucion dando por sentado que varios angulos valen lo mismo sin explicacion previa. Muchas Gracias!!
Creo que las propiedades que usa (aparte de cosas como que en un triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales) son las básicas de cuadriláteros cíclicos, que están acá: http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=6&t=1175
Gracias por la ayuda! Estoy estudiando para el selectivo de imo y creo que estos contenidos me serviran mucho

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Gianni De Rico

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Re: P3-Selectivo LIII IMO 2012-Argentina

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 10 May, 2018 9:49 am

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Sea $B\widehat AF=\alpha$, como $A$ es centro de $\Gamma _1$ entonces $B\widehat EF=180°-\frac{\alpha}{2}\Rightarrow C\widehat EF=\frac{\alpha}{2}$. Como $ABCF$ es cíclico tenemos $B\widehat CF=180°-\alpha$. Luego $C\widehat FE=\frac{\alpha}{2}\Rightarrow EC=CF$ entonces $AC$ es mediatriz de $EF\Rightarrow EF\perp AC\wedge EM=MF$
También $AB=AF$ por ser $A$ centro de $\Gamma _1$, luego, $A\widehat BF=B\widehat FA$. Por arco capaz en $\Gamma$, $A\widehat DF=A\widehat BF=B\widehat FA=B\widehat CA$, además $K\widehat DM=A\widehat DF=B\widehat CA=K\widehat CM\Rightarrow MCDK$ es cíclico $\Rightarrow D\widehat KM=D\widehat EC=90°$. Como $AB=AE$ resulta que $K$ es el punto medio de $BE$ ($AK$ es mediatriz de $BE$) y por Thales $KM\parallel BF$.

Sea $L'=AB\cap KM$, como $KL'\parallel BF$ tenemos $K\widehat {L'}B=F\widehat BA=F\widehat DA=E\widehat DK$. Como $A,D,K$ están alineados entonces $D$ está en la mediatriz de $BE$, luego $\triangle BDE$ es isósceles en $D\Rightarrow E\widehat DK=K\widehat DB$. Por lo tanto $K\widehat {L'}B=K\widehat DB\Rightarrow KDLB$ es cíclico. Entonces $L'\equiv L$, y estamos.
[math]

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