24º APMO 2012 - Problema 1

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ésta

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24º APMO 2012 - Problema 1

Mensaje sin leer por ésta » Lun 02 Abr, 2012 3:04 pm

Sea [math] un punto en el interior del triángulo [math], y sean [math], [math] y [math], los puntos de intersección de [math] con [math], de [math] con [math] y de [math] con [math], respectivamente. Demostrar que el aréa del triángulo [math] debe ser [math] si el aréa de cada uno de los triángulos [math], [math] y [math] es [math].
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Nacho

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Re: 24º APMO 2012 - Problema 1

Mensaje sin leer por Nacho » Dom 08 Abr, 2012 2:13 pm

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Dejemos [math], [math] y [math].
Notemos que por relaciones entre las áreas y los lados y por el Teorema de Ceva, [math].

Ahora, notemos por relaciones entre las áreas que [math].
Reemplazando, tenemos que [math]

Ahora, notemos por relaciones entre las áreas que [math].
Reemplazando, tenemos que [math].

Supongamos que [math]. Entonces [math], de donde [math] y así [math], de donde [math] ya que [math] es positivo.
Entonces, de la misma forma, [math] y así [math] de donde [math]. Absurdo.

Si suponemos que [math] obtenemos una contradicción de la misma forma.

Entonces, [math]. Entonces [math], de donde [math]. De la misma forma [math] y así [math], y estamos. [math].
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tuvie

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Re: 24º APMO 2012 - Problema 1

Mensaje sin leer por tuvie » Lun 16 Dic, 2013 7:52 pm

Otra forma de terminarlo:
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Cuando obtenemos [math], sumamos ciclicamente, y cancelamos [math], de donde nos queda que [math], pero por AM-GM, sabemos que [math] con igualdad si y solo si [math], de dónde cocluimos que el área de [math] es [math].
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Gianni De Rico

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Re: 24º APMO 2012 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 07 Dic, 2018 1:34 pm

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Sean $a=(PAB)$, $b=(PBC)$, $c=(PCA)$. Luego $\frac{b}{c}=\frac{(PBC)}{(PCA)}=\frac{BF}{AF}=\frac{(BPF)}{(APF)}=\frac{a-1}{1}=a-1\Rightarrow c(a-1)=b$ entonces $a+b+c=c(a-1)+a+c=ca+a=(c+1)a$, análogamente $(a+1)b=a+b+c$ y $(b+1)c=a+b+c$. Por lo tanto, $(a+1)b=(b+1)c=(c+1)a$.
WLOG $a\leqslant b,c$. Supongamos que $b>c$, luego $(b+1)c>(c+1)a=(b+1)c$, absurdo. Por lo tanto $b\leqslant c$. Supongamos que $b<c$, luego $(a+1)b<(b+1)c=(a+1)b$, absurdo. Por lo tanto $b\geqslant c$. Entonces $c\leqslant b\leqslant c\Rightarrow b=c$, luego, $(a+1)b=(b+1)c=(b+1)b\Rightarrow a+1=b+1\Rightarrow a=b=c$. Ahora $3a=a+b+c=(c+1)a=(a+1)a\Rightarrow 3=a+1\Rightarrow 2=a=b=c\Rightarrow 6=a+b+c=(PAB)+(PBC)+(PCA)=(ABC)$
[math]

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