24º APMO 2012 - Problema 1

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ésta

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24º APMO 2012 - Problema 1

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Sea [math] un punto en el interior del triángulo [math], y sean [math], [math] y [math], los puntos de intersección de [math] con [math], de [math] con [math] y de [math] con [math], respectivamente. Demostrar que el aréa del triángulo [math] debe ser [math] si el aréa de cada uno de los triángulos [math], [math] y [math] es [math].
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Nacho

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Re: 24º APMO 2012 - Problema 1

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Dejemos [math], [math] y [math].
Notemos que por relaciones entre las áreas y los lados y por el Teorema de Ceva, [math].

Ahora, notemos por relaciones entre las áreas que [math].
Reemplazando, tenemos que [math]

Ahora, notemos por relaciones entre las áreas que [math].
Reemplazando, tenemos que [math].

Supongamos que [math]. Entonces [math], de donde [math] y así [math], de donde [math] ya que [math] es positivo.
Entonces, de la misma forma, [math] y así [math] de donde [math]. Absurdo.

Si suponemos que [math] obtenemos una contradicción de la misma forma.

Entonces, [math]. Entonces [math], de donde [math]. De la misma forma [math] y así [math], y estamos. [math].
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tuvie

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Re: 24º APMO 2012 - Problema 1

Mensaje sin leer por tuvie »

Otra forma de terminarlo:
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Cuando obtenemos [math], sumamos ciclicamente, y cancelamos [math], de donde nos queda que [math], pero por AM-GM, sabemos que [math] con igualdad si y solo si [math], de dónde cocluimos que el área de [math] es [math].
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Gianni De Rico

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Re: 24º APMO 2012 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Sean $a$ el área de $PCD$, $b$ el área de $PAE$ y $c$ el área de $PBF$. Tenemos que$$\frac{b+1}{1}=\frac{CP}{PF}=\frac{a+1}{c},$$de donde $bc+c=a+1$. Análogamente se tiene que $ca+a=b+1$ y $ab+b=c+1$. Sumando estas tres igualdades tenemos que $bc+ca+ab=3$. Por Ceva resulta$$\frac{1}{a}\frac{1}{b}\frac{1}{c}=\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=1,$$de donde $abc=1$. De $bc+c=a+1$ resulta $abc+ac=a^2+a$, de $ca+a=b+1$ resulta $abc+ab=b^2+b$, y de $ab+b=c+1$ resulta $abc+bc=c^2+c$. Sumando estas tres igualdades junto con las condiciones $abc=1$ y $bc+ca+ab=3$ resulta $a^2+b^2+c^2+a+b+c=6$. Pero $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(bc+ca+ab)$, y como $bc+ca+ab=3$, nos queda $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-6$, con lo que la ecuación resulta $(a+b+c)^2-6+a+b+c=6$, es decir $(a+b+c+4)(a+b+c-3)=0$, con lo que $a+b+c=3$.
Consideremos en polinomio $(x-a)(x-b)(x-c)$, esto es igual a $x^3-(a+b+c)x^2+(bc+ca+ab)x-abc$, que por todo lo que demostramos hasta ahora es igual a $x^3-3x^2+3x-1$, es decir, a $(x-1)^3$. En otras palabras, vimos que los polinomios $(x-a)(x-b)(x-c)$ y $(x-1)^3$ son iguales, así que tienen las mismas raíces, es decir $a=b=c=1$. Estamos.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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