Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=90^\circ$. La recta que pasa por el punto medio de la altura $CH$ y el vértice $A$ corta a $CB$ en el punto $K$. Sean $L$ el punto medio de $BC$ y $T$ un punto del segmento $AB$ tal que $\angle ATK=\angle LTB$. Se sabe que $BC=1$. Hallar el perímetro del triángulo $KTL$.
Es evidente que los triángulos $ABC$ y $ACH$ son semejantes, asimismo, sea $M$ el punto medio de $\bar{CH}$, entonces, claramente, $ALB$ es semejante al triángulo $AMC$ y de allí se deduce la igualdad de arriba.
En otras palabas, $L$ y $K$ son conjugados isogonales respecto al ángulo $\widehat{CAB}$.
De allí, sea $K'$ la reflexión de $K$ respecto a $\overleftrightarrow{AC}$ y sea $K"$ la reflexión de $K$ respecto a $\overleftrightarrow{AB}$. . Ademas $T=\overline{K"L} \cap \overline{AB}$ pues, al ser $K"$ reflejo de $K$ respecto a $AB$ se tiene $\widehat{ATK}=\widehat{ATK"}=\widehat{BTL}$ (la última igualdad por opuestos por el vértice)
Como $\overline{AK}=\overline{AK'}=\overline{AK"}$ por ser reflexiones sobre rectas que pasan por $A$, $A$ es circucuncentro de $KK'K"$ y entonces la perpendicular de $\overline{K'K"}$ que pasa por $A$ corta a $\overline{K'K"}$ en su punto medio. De allí, al ser $K'$ y $K"$ las reflexiones respecto al conjugado isogonal de $K$ a los lados que pasan por $A$, y al ser $L$ el conjugado isogonal de $K$ respecto a el ángulo en $A$ comprendido entre esos dos lados, entonces $\overleftrightarrow{AL} \perp \overleftrightarrow{K'K"}$ (no sé cómo se llama el teorema, si tiene un nombre). De allí, siendo $M'$ el punto medio de $\overline{K'K"}$ se tiene que $\overline{K'M´}=\overline{M'K"}$ y de allí se sigue que $K'M'L$ y $LM'K"$ son triángulos rectángulos congruentes, en específico $\overline{LK´}=\overline{LK¨}=\overline{TL} +\overline{TK}$ pues $T$ es la intersección de $LK"$ y $AB$; y se tiene que $\overline{LK´}= \overline{K'C}+\overline{CL}=\overline{K'C}+\frac{1}{2}=\overline{CK}+\frac{1}{2}$ y por lo que:
$$Perímetro(TLK)=\overline{KL}+\overline{TL} +\overline{TK}=\overline{KL}+\overline{CK}+\frac{1}{2}= \overline{CL}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$
"cada vez que uses xor, piensa en mí, estaré usando vectores módulo 2"- un cordobés a otro.
