Segunda Ronda Regionales 2010 N3P3 - Sel. Ibero 1997 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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amcandio

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Segunda Ronda Regionales 2010 N3P3 - Sel. Ibero 1997 P1

Mensaje sin leer por amcandio » Mar 14 Dic, 2010 8:08 pm

Sea [math] un paralelogramo y [math] un punto interior tal que [math] demostrar que [math].
"Prillo es el Lanata de la trigonometria"

Mariano Juncal

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Re: P3 N3 Segunda Ronda Regionales 2010

Mensaje sin leer por Mariano Juncal » Mié 29 Dic, 2010 2:39 am

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Sea [math] en el semiplano que determina [math] y no contiene a [math] tal que [math] es un paralelogramo
Como [math] y [math], [math]. Como además [math] y [math], los triángulos [math] y [math] son iguales
Entonces, [math]
Ahora, [math] y [math] entonces [math] y [math]
Como [math], [math], entonces [math] es cíclico, por lo tanto [math], pero [math] por la igualdad de los triángulos [math] y [math], entonces [math], como queríamos demostrar.

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Dauphineg

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Selectivo Ibero 1997 P1

Mensaje sin leer por Dauphineg » Vie 24 Ene, 2014 1:25 am

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Sea E el punto de intersección de la rectas ║ a AO que pasa por D y la recta ║ a BO que pasa por C.

Luego por paralelismo de recta y por ser DC=AB resulta que el triángulo DEC= triángulo AOB, por tanto AÔB=DÊC (1)

Como DE y igual y paralelo a AO entonces AOED es un paralelogramo y por tanto DA es igual y paralelo a OE, pero DA es igual y paralelo a BC (por enunciado). Entonces resulta que EO es igual y paralelo a BC, siendo entonces OÊC=O^BC (2)

Por hipótesis AÔB+DÔC= 180º, es decir (1) DÊC+DÔC =180, es decir que el cuadrilátero DECO es inscriptible, entonces O^DC=OÊC= (2)O^BC y ya queda probado.

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Vladislao

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Re: Selectivo Ibero 1997 P1

Mensaje sin leer por Vladislao » Vie 24 Ene, 2014 3:12 pm

Buscá el enunciado antes de postearlo de nuevo. En este caso ya estaba posteado dos veces.

http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=17&t=71

Para buscar un problema podés usar el Archivo de Enunciados
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Gianni De Rico

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Re: Segunda Ronda Regionales 2010 N3P3 - Sel. Ibero 1997 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 17 May, 2018 2:29 pm

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Trasladamos $\triangle AOB$ por $\vec{AD}$, esta traslación lleva $A$ a $D$, $B$ a $C$ y $O$ a $O'$. Tenemos que $BCO'O$ es un paralelogramo $\Rightarrow O\widehat {O'}C=O\widehat BC$, y que $D\widehat {O'}C=A\widehat OB=180°-D\widehat OC\Rightarrow DOCO'$ es cíclico $\Rightarrow O\widehat DC=O\widehat {O'}C=O\widehat BC$
[math]

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