Cono Sur 2020 - P4

[Gianni De Rico]

Considerar un triángulo acutángulo escaleno $ABC$. Considere los puntos variables $D$ y $E$ sobre las semirrectas $AB$ y $AC$ (con origen en $A$) tales que el simétrico de $A$ en relación a la recta $DE$ está sobre el lado $BC$. Las circunferencias de diámetros $AD$ y $AE$ se intersecan nuevamente en el punto $P$, distinto de $A$. Encontrar el lugar geométrico del punto $P$ al variar el segmento $DE$.

[Sandy]

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Por ser $AD$ y $AE$ diámetros, $A\widehat{P}E=A\widehat{P}D$, luego $P$ es el pie de la perpendicular de $A$ a $ED$. Sea $A'=AP\cap BC$, lo que buscamos entonces es el lugar geométrico de los $P$ tales que $AP=PA'$, que trivialmente es la base media correspondiente a $BC$.