ONEM 2019 - Nacional - Nivel 2 - P1

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Nando

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ONEM 2019 - Nacional - Nivel 2 - P1

Mensaje sin leer por Nando »

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular, $C_1$ la circunferencia de diámetro $AF$ y $C_2$ la circunferencia de centro $E$ y radio $EF$. Las circunferencias $C_1$ y $C_2$ se intersectan en los puntos $F$ y $P$, y además, $AP$ intersecta a $ED$ en $Q$. Determine en qué relación están las longitudes de los segmentos  $DQ$ y $QE$.
Juaco

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Re: ONEM 2019 - Nacional - Nivel 2 - P1

Mensaje sin leer por Juaco »

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Sea $R = BE \cap C_2$
tenemos $F\hat {P}E = P\hat {F}E = 90 - \alpha \Rightarrow F\hat {E}P = 2\alpha $ además $FP \bot AQ$ por lo que $E\hat {P}Q = \alpha $

$O,E \in \mathcal {M}_z FP$ siendo $\mathcal {M}_z$ la mediatriz, por lo que $EO$ es la bisectriz de $F\hat {E}P$, $O\hat {E}P = \alpha = E\hat {P}Q \Rightarrow EO // AQ$

Por Tales $\frac {QE}{ER} = \frac {AO}{OR} = \frac {1}{3} $ f

De donde se deduce que $\frac {EQ}{QD} = \frac {1}{2} $

Me había olvidado de decir cual es el punto $O $ jajaja es el punto medio de $AF$, o sea el centro de $C_1$
$\text{“The further removed from usefulness or practical application, the more important."}$
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