Provincial (Metropolitana) 2000 - Nivel 2 - Problema 2

[Monazo]

En el cuadrado $ABCD$ se marcan los puntos $P$, $Q$ en el lado $AB$ de manera tal que $AP = PQ = QB$, y se marcan los puntos $R$, $S$ en el lado $BC$ de manera tal que $BR = RS = SC$. Se trazan: la recta $AR$; la recta paralela a $AR$ que pasa por $S$; la recta $DP$; la recta paralela a $DP$ que pasa por $Q$. Estas cuatro rectas delimitan un cuadrado de área $490$. Hallar la medida del lado del cuadrado $ABCD$.

[Gabriel Bernal]

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Trazo la paralela a $AR$ por $C$ y la paralela a $DP$ por $B$. Las intersecciones de $AR$ y sus dos paralelas dividen al lado $DA$ en tres partes iguales y lo mismo pasa con las otras tres paralelas pero con el lado $CD$. Esto es así porque $AWSR$ y $WVCS$ son paralelogramos y $DV=AD-AW-WV=AD-2AW=AW$. De forma análoga se prueba para las otras paralelas.
Notemos ahora que el $ABCD$ quedó divido en cuatro cuadrados iguales (Thales) de área $490$ cada uno y en cuatro triángulos rectángulos iguales con catetos $\sqrt{490}$ y $3\sqrt{490}$ por lo que el área de cada uno es $1470/2=735$. Sumando áreas tengo que el área del $ABCD$ es $4900$ por lo que el lado es $70$.

GeoGebra.PNG