Se tienen dos triángulos rectángulos. La suma de dos catetos, uno de cada triangulo, es igual a [math]A, la suma de los otros dos catetos, uno de cada triangulo, es igual a [math]B, y la suma de las dos hipotenusas es igual a [math]C. Resulta que a [math]A, [math]B y [math]C son los lados de un triangulo rectángulo. Demostrar que en los dos triángulos originales los cocientes entre los correspondientes cateto mayor y cateto menor son iguales.
Última edición por Chino2000 el Mié 06 May, 2015 7:54 am, editado 1 vez en total.
Sean [math]a, b, c los lados de uno de los triángulos rectángulos con hipotenusa [math]c, y sean [math]x, y, z los lados del otro triángulo rectángulo con hipotenusa [math]z. Por dato tenemos que [math]a+x=A, [math]b+y=B y [math]c+z=C. Como [math]A, B, C representan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, y además es fácil ver que [math]C>A, B, entonces se cumple que [math]A^{2}+B^{2}=C^{2}, por lo tanto, [math](a+x)^{2}+(b+y)^{2}=(c+z)^{2} \Rightarrow ax+by=cz \Rightarrow \left ( \frac{a}{c} \right )\left ( \frac{x}{z} \right )+\left ( \frac{b}{c} \right )\left ( \frac{y}{z} \right )=1. Luego, note que [math]\left ( \left ( \frac{a}{c} \right )\left ( \frac{x}{z} \right )+ \left ( \frac{b}{c} \right )\left ( \frac{y}{z} \right ) \right )^{2}=\left [ \left ( \frac{a}c{} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{c} \right )^{2} \right ]\left [ \left ( \frac{x}{z} \right )^{2}+\left ( \frac{y}z{} \right )^{2} \right]. Desarrollando la parte izquierda y luego haciendo unas simplificaciones nos queda que: [math]\left ( \left ( \frac{a}{c} \right )\left ( \frac{y}z{} \right )-\left ( \frac{b}{c} \right )\left ( \frac{x}{z} \right ) \right )^{2}=0 \Leftrightarrow \left ( \frac{a}{c} \right )\left ( \frac{y}{z} \right )=\left ( \frac{b}{c} \right )\left ( \frac{x}{z} \right )\Leftrightarrow ay=bx. Por lo tanto, si [math]a\geq b \Rightarrow x\geq y y queda!!
Para este problema use el gráfico del triangulo grande. Sean [math]a_{1}, [math]b_{1} y [math]c_{1} los lados del primer triangulo original y [math]a_{2}, [math]b_{2} y [math]c_{2} los lados del segundo triangulo original.
Respuesta.png
Trazando nuevamente los segmentos [math]b_{1} y [math]a_{2} formando los dos triángulos iniciales, se sabe que éstos tienen ángulos iguales debido a que la recta [math]C es cortada por dos paralelas. Si tienen sus tres ángulos iguales son semejantes, y si son semejantes, podemos afirmar que: [math]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}
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Se tienen dos triángulos rectángulos. La suma de dos catetos, uno de cada triángulo, es igual a $A$, la suma de los otros dos catetos, uno de cada triángulo, es igual a $B$, y la suma de las dos hipotenusas es igual a $C$. Resulta que $A$, $B$ y $C$ son los lados de un triángulo rectángulo. Demostrar que en los dos triángulos originales los cocientes entre los correspondientes cateto mayor y cateto menor son iguales.
Le llamamos $x_1,y_1,z_1$ a los catetos menor, mayor e hipotenusa del primer triángulo rectángulo y también llamamos $x_2,y_2,z_2$ a los catetos menor, mayor e hipotenusa del segundo triángulo rectángulo. Ademas llamamos $\Theta _1$ al ángulo que forman $x_1$ con $z_1$ y $\Theta _2$ al ángulo que forman $x_2$ con $z_2$.
Como $x_1\leq y_1$ y $x_2\leq y_2$ tendremos $\frac{\pi}{4}\leq \Theta _1<\frac{\pi}{2}$ y también $\frac{\pi}{4}\leq \Theta _2<\frac{\pi}{2}$ y entonces $\frac{-\pi}{4}<\Theta _1-\Theta _2<\frac{\pi}{4}$; $\frac{\pi}{2}\leq \Theta _1+\Theta _2<\pi$ $(*)$
Se quiere probar que $\tan \left (\Theta _1\right )=\tan \left (\Theta _2\right )$ en cualquiera de los siguientes $2$ casos: 1) Los segmentos $A=x_1+y_2$, $B=x_2+y_1$, $C=z_1+z_2$ forman un triángulo rectángulo: Como $A=x_1+y_2<z_1+z_2=C$ y también $B=x_2+y_1<z_1+z_2=C$ entonces $C$ sera la hipotenusa de este triángulo rectángulo, así que tendremos $A^2+B^2=C^2$ o equivalentemente $\left (x_1+y_2\right )^2+\left (x_2+y_1\right )^2=\left (z_1+z_2\right )^2\Rightarrow x_1^2+2x_1y_2+y_2^2+x_2^2+2x_2y_1+y_1^2=z_1^2+2z_1z_2+z_2^2$ $\Rightarrow \left (x_1^2+y_1^2-z_1^2\right )+\left (x_2^2+y_2^2-z_2^2\right )+2x_1y_2+2x_2y_1=2z_1z_2\Rightarrow 0+0+2x_1y_2+2x_2y_1=2z_1z_2\Rightarrow x_1y_2+x_2y_1=z_1z_2$
$\Rightarrow \frac{x_1y_2+x_2y_1}{z_1z_2}=1\Rightarrow \frac{x_1y_2}{z_1z_2}+\frac{x_2y_1}{z_1z_2}=1\Rightarrow \frac{x_1}{z_1}\cdot \frac{y_2}{z_2}+\frac{x_2}{z_2}\cdot \frac{y_1}{z_1}=1\Rightarrow \cos \left (\Theta _1\right )\cdot \sin \left (\Theta _2\right )+\cos \left (\Theta _2\right )\cdot \sin \left (\Theta _1\right )=1$
$\Rightarrow \sin \left (\Theta _1+\Theta _2\right )=1$ Luego por $(*)$ tendremos que $\Theta _1+\Theta _2=\frac{\pi}{2}$ pero para obtener esta igualdad será necesario que $\Theta _1=\Theta _2=\frac{\pi}{4}\Rightarrow \tan \left (\Theta _1\right )=\tan \left (\Theta _2\right )$ y quedó probado. 2) Los segmentos $A=x_1+x_2$, $B=y_1+y_2$, $C=z_1+z_2$ forman un triángulo rectángulo: Como $A=x_1+x_2<z_1+z_2=C$ y también $B=y_1+y_2<z_1+z_2=C$ entonces $C$ sera la hipotenusa de este triángulo rectángulo, así que tendremos $A^2+B^2=C^2$ o equivalentemente $\left ( x_1+x_2\right )^2+\left ( y_1+y_2\right )^2=\left (z_1+z_2\right )^2\Rightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+y_1^2+2y_1y_2+y_2^2=z_1^2+2z_1z_2+z_2^2$ $\Rightarrow \left (x_1^2+y_1^2-z_1^2\right )+\left (x_2^2+y_2^2-z_2^2\right )+2x_1x_2+2y_1y_2=2z_1z_2\Rightarrow 0+0+2x_1x_2+2y_1y_2=2z_1z_2\Rightarrow x_1x_2+y_1y_2=z_1z_2$
$\Rightarrow \frac{x_1x_2+y_1y_2}{z_1z_2}=1\Rightarrow \frac{x_1x_2}{z_1z_2}+\frac{y_1y_2}{z_1z_2}=1\Rightarrow \frac{x_1}{z_1}\cdot \frac{x_2}{z_2}+\frac{y_1}{z_1}\cdot \frac{y_2}{z_2}=1\Rightarrow \cos \left (\Theta _1\right )\cdot \cos \left (\Theta _2\right )+\sin \left (\Theta _1\right )\cdot \sin \left (\Theta _2\right )=1$
$\Rightarrow \cos \left (\Theta _1-\Theta _2\right )=1$ Luego por $(*)$ tendremos que $\Theta _1-\Theta _2=0\Rightarrow \Theta _1=\Theta_2\Rightarrow \tan \left (\Theta _1\right )=\tan \left (\Theta _2\right )$ y quedó probado.
Fin del problema.
Sean $a,b,c$ los lados del primer triángulo ($c$ es hipotenusa), y sean $x,y,z$ los lados del segundo triángulo de modo que $a+x=A$, $b+y=B$ y $c+z=C$, tenemos entonces que $z$ es la hipotenusa del segundo triángulo.
Como $a<c$, $b<c$, $x<z$, e $y<z$ por ser $c,z$ hipotenusas, tenemos que $A=a+x<c+z=C$ y $B=b+y<c+z=C$, así que $C$ es hipotenusa del último triángulo. Por lo tanto$$\begin{align*}A^2+B^2 & =C^2 \\
(a+x)^2+(b+y)^2 & =(c+z)^2 \\
a^2+2ax+x^2+b^2+2by+y^2 & =c^2+2cz+z^2 \\
ax+by & =cz
\end{align*}$$donde la última igualdad vale porque $a^2+b^2=c^2$ y $x^2+y^2=z^2$.
Podemos suponer que $b\geqslant a$.
Si $y\geqslant x$, sean $b=na$ e $y=mx$, queremos probar que $n=m$.
Esto es cierto pues$$\begin{align*}ax+by & =cz \\
ax+nmax & =cz \\
(nm+1)ax & =\sqrt{\left (n^2+1\right )a^2\left (m^2+1\right )x^2}\quad \text{(Pitágoras)} \\
(nm+1)^2a^2x^2 & =\left (n^2+1\right )\left (m^2+1\right )a^2x^2 \\
(nm+1)^2 & =\left (n^2+1\right )\left (m^2+1\right ) \\
n^2m^2+2nm+1 & =n^2m^2+n^2+m^2+1 \\
2nm & =n^2+m^2 \\
n^2-2nm+m^2 & =0 \\
(n-m)^2 & =0 \\
n-m & =0 \\
n & =m
\end{align*}$$Por otro lado, si $x>y$, sean $b=na$ y $x=my$, con $n\geqslant 1$ y $m>1$, tenemos entonces que$$\begin{align*}ax+by & =cz \\
amy+any & =cz \\
ay(n+m) & =\sqrt{\left (n^2+1\right )a^2\left (m^2+1\right )y^2}\quad \text{(Pitágoras)} \\
a^2y^2(n+m)^2 & =\left (n^2+1\right )\left (m^2+1\right )a^2y^2 \\
(n+m)^2 & =\left (n^2+1\right )\left (m^2+1\right ) \\
n^2+2nm+m^2 & =n^2m^2+n^2+m^2+1 \\
n^2m^2-2nm+1 & =0 \\
(nm-1)^2 & =0 \\
nm-1 & =0 \\
nm & =1 \\
n & =\frac{1}{m}
\end{align*}$$de esto tenemos que $\frac{1}{m}=n\geqslant 1$, por lo que $m\leqslant 1$, absurdo pues $m>1$. Este caso no puede ocurrir.
Entonces los catetos mayores son $b$ e $y$, por lo que los cocientes pedidos son $\frac{b}{a}=n=m=\frac{y}{x}$, y estamos.
Llamamos $x_1,y_1$ a los catetos del primer triángulo rectángulo y $z_1$ a su hipotenusa, además llamamos $x_2,y_2$ a los catetos del segundo triángulo rectángulo y $z_2$ a su hipotenusa. Supongamos sin perdida de generalidad que $A=x_1+y_2$ y que $B=x_2+y_1$, además por hipótesis $C=z_1+z_2$, ya hemos visto en la anterior solución que $C$ sera sin duda alguna la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados $A,B,C$.
Construimos un rectángulo $DEFG$ de lados $\overline{DE}=\overline{FG}=A$ y $\overline{EF}=\overline{GD}=B$, luego como el triángulo $DFG$ es rectángulo y de catetos $A$ y $B$ se tendrá que su hipotenusa $\overline{DF}=C=z_1+z_2$.
Marcamos puntos $M$ y $N$ en $\overline{DE}$ y $\overline{FG}$ respectivamente de modo tal que $\overline{MD}=\overline{NG}=x_1$.
Marcamos puntos $P$ y $Q$ en $\overline{EF}$ y $\overline{GD}$ respectivamente de modo tal que $\overline{PF}=\overline{QG}=x_2$.
Llamamos $H$ al punto de intersección de los segmentos $\overline{MN}$ y $\overline{PQ}$, los triángulos $DQH$ y $FNH$ son claramente el primer y segundo triángulo rectángulo respectivamente y entonces $\overline{DH}=z_1$ y $\overline{FH}=z_2$, luego $\overline{DH}+\overline{FH}=z_1+z_2=C=\overline{DF}$ , pero esta igualdad puede darse sólo si $H\in \overline{DF}$ y con esto se concluye que los triángulos rectángulos $DQH$ y $FNH$ (que son el primero y el segundo respectivamente) serán semejantes, o equivalentemente que los cocientes entres sus respectivos catetos mayor y menor serán iguales.
