COFFEE "Carolina González" - Problema 1

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COFFEE
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COFFEE "Carolina González" - Problema 1

Mensaje sin leer por COFFEE » Sab 09 May, 2020 12:04 am

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$ y $BC=12$. Sea $D$ el punto medio de $BC$ y sea $E$ un punto en $AC$ tal que $DE$ es perpendicular a $AC$. La recta paralela a $BC$ que pasa por $E$ corta al lado $AB$ en el punto $F$.
Si $EC=4$, determinar la longitud del segmento $EF$.

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COFFEE
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Re: COFFEE "Carolina González" - Problema 1

Mensaje sin leer por COFFEE » Mar 12 May, 2020 1:05 am

Solución Oficial

Aunque es un problema que se puede resolver utilizando distintos caminos y teoremas que agilizan su resolución, vamos a explicar la solución que usa exclusivamente congruencia y semejanza de triángulos.
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Problema 1 - COFFEE Semejanza.png

Primera observación, $AD$ además de mediana, es altura. Muchos de nosotros automáticamente decimos, si un triángulo $ABC$ es isósceles en $A$, entonces la mediana que pasa por $A$, coincide con la altura y la bisectriz que pasan por $A$. Pero ¿por qué pasa esto?
Demostración

Si $AD$ es mediana, entonces tenemos que $BD = DC$. Dado que el triángulo $ABC$ es isósceles en $A$, tenemos que $A\widehat{B}C=A\widehat{C}B$ y que $AB = AC$. Luego, notemos que por el criterio de LAL, podemos afirmar que los triángulos $ABD$ y $ACD$ son congruentes. Con esto podemos deducir que $B\widehat{A}D=C\widehat{A}D$ (Es bisectriz) y que $A\widehat{D}C=A\widehat{D}B$. Dado que los puntos $B$, $D$ y $C$ pertenecen a un misma recta, entonces tenemos que $A\widehat{D}C+A\widehat{D}B=180^{\circ}$, por lo que implica que ambos ángulos deben ser de $90^{\circ}$.
Teniendo esto ya demostrado, continuamos con la resolución del problema. Sea $D\widehat{A}B = \alpha$, dado que $A\widehat{E}D = 90^{\circ}$, por suma de ángulos interiores en $\triangle AED$ podemos deducir que $A\widehat{D}E = 90^\circ - \alpha$. Notando que $A\widehat{D}E + E\widehat{D}C = A\widehat{D}C = 90^\circ$, podemos obtener que $E\widehat{D}B=\alpha$. Finalmente, sabiendo que $D\widehat{E}C = 90^\circ$, por suma de ángulos interiores en $\triangle EDC$ obtenemos que $E\widehat{C}D = 90^\circ-\alpha$.
Con todos estos ángulos hallados, podemos observar que los triángulos $\triangle EDC$ y $\triangle ADC$ son semejantes. Si planteamos su relación de semejanza, obtenemos que:

$$\dfrac{EC}{DC}=\dfrac{DC}{AC} \implies \dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{AC} \implies AC=9$$

Dado que $AE+EC=AC=9 \implies AE=9-4=5$.

Ahora bien, podemos notar que aún hay un dato que no utilizamos del problema, que es justamente que $EF$ es paralela a $BC$. Es aquí donde vemos que: $A\widehat{E}F=A\widehat{C}B$ y $A\widehat{F}E = A\widehat{B}C$ por ángulos correspondientes en las paralelas $EF$ y $BC$, lo que implica que los triángulos $\triangle AFE$ y $\triangle ABC$ son semejantes. Si planteamos su razón de semejanza obtenemos:

$$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{EF}{AB} \implies \dfrac{5}{9}=\dfrac{EF}{12} \implies EF=\dfrac{5\cdot 12}{9} = \dfrac{20}{3}$$

Obteniendo así el valor solicitado en el problema!
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HelcsnewsXD

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Re: COFFEE "Carolina González" - Problema 1

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Mar 12 May, 2020 1:23 am

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Como $\overline{DE} \perp \overline{EC}$, $\overline{EC} = 4$ y $\overline{DC} = 6$, por Pitágoras $\overline{DE} = 2\times \sqrt{5}$ (del mismo modo pasa con $B$ por ser $\bigtriangleup ABC$ isósceles). Considerando $\exists d \in \overline{BC}$ / $\overline{Ed} \perp \overline{BC}$, tenemos:
$sup(\bigtriangleup DEC) = \frac{\overline{EC} \times \overline{DE}}{2} \wedge sup(\bigtriangleup DEC) = \frac{\overline{Ed} \times \overline{DC}}{2} \Rightarrow \frac{\overline{EC}\times \overline{DE}}{2} = \frac{\overline{Ed}\times \overline{DC}}{2} \Rightarrow \overline{Ed}=\frac{4\times \sqrt{5}}{3}$
Con Pitágoras en $\bigtriangleup EdC$, obtenemos $\overline{dC}=\frac{8}{3}$. Como es isósceles, pasa lo mismo del lado de $B$ (además por ser $\overline{BC} \parallel \overline{EF}$). Por ello, como estos lados son paralelos, $\overline{EF}=\overline{BC}-2\times \overline{dC} \Rightarrow \overline{EF}=\frac{20}{3}$
Genial :D 8-)

FabriATK

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Re: COFFEE "Carolina González" - Problema 1

Mensaje sin leer por FabriATK » Jue 14 May, 2020 3:41 pm

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Primero notemos que los triángulos ABC y AFE están en posición de thales, lo que quiere decir que son semejantes.
Ahora, trazo un punto G en AC tal que $DG = DC$ (ambos valdrán 6, ya que DC = $\frac{BC}{2}$
=$\frac{12}{2}$= 6).
Como ED es perpendicular a CG, y CDG es un triángulo Isósceles, E es el pie de la altura en CG; por lo que E se encuentra en el punto medio de CG, y como $CE = 4$, CG será $CE × 2 = 8$.
Observamos que el ángulo DCG es el mismo que BCA (ya que G y A están ubicados en la misma semirrecta, y lo mismo pasa con D y B). Como CDG es un triángulo Isosceles, los ángulos DCG y DGC son iguales. Por lo que los triángulos ABC y DCG son semejantes(ya que demostré que tienen dos ángulos iguales, lo que significa que también tienen el tercer ángulo igual).
//En la imagen adjunta, en la figura 1 hay un dibujo que muestra lo que hice.
Como ABC y DCG son semejantes, $\frac{AB}{DC}$ = $\frac{BC}{CG}$ = $\frac{AC}{DG}$
Tenemos que $\frac{BC}{CG}$ = $\frac{12}{8}$ = $\frac{3}{2}$. Por lo que AB = DC × $\frac{3}{2}$ = 6 × $\frac{3}{2}$ = 9.
Ahora tenemos los tres lados del triángulo ABC: $AB = AC = 9$ y $BC = 12$.
Para saber cuando mide AE, tenemos que hacer $AE = AC - CE = 9 - 4 = 5$.
Como ABC y AFE son semejantes, $\frac{AC}{AE}$ = $\frac{BC}{FE}$ por lo que:
$\frac{9}{5}$ = $\frac{12}{FE}$ entonces $9 × FE = 12 × 5$
FE = $\frac{60}{9}$ = 6,6 periódico.
Rta: FE mide 6,6
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BrunZo

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Re: COFFEE "Carolina González" - Problema 1

Mensaje sin leer por BrunZo » Jue 14 May, 2020 6:04 pm

Tecnicismo:
Spoiler: mostrar
Si bien no viene mucho al caso, vale aclarar que si $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$, entonces $\frac{a+c}{b+d}=k$ y $\frac{a-c}{b-d}=k$ (se puede ver fácil ya que $a=bk$ y $c=dk$). Esto, si bien es una trivialidad, da un grado más de libertad cuando se está jugando con razones en geometría.
Solución: (corta)
Spoiler: mostrar
Con $G$ siendo la intersección de $EF$ con $AD$ y por ende $EG=GF=x$, y viendo que $CDE$, $CAD$ y $EAG$ son semejantes por criterio AAA, vale que
$$\frac{3}{2}=\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CD}=\frac{EA}{EG}=\frac{CA-EA}{CD-EG}=\frac{4}{6-x}$$
lo cual es una ecuación que al resolverse da $x=\frac{10}{3}$ y luego $EF=\frac{20}{3}$.
Última edición por BrunZo el Jue 14 May, 2020 7:57 pm, editado 2 veces en total.
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Turko Arias

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Re: COFFEE "Carolina González" - Problema 1

Mensaje sin leer por Turko Arias » Jue 14 May, 2020 7:21 pm

BrunZo escribió:
Jue 14 May, 2020 6:04 pm
Tecnicismo:
Spoiler: mostrar
Si bien no viene mucho al caso, vale aclarar que si $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$, entonces $\frac{a+c}{b+d}=k$ y $\frac{a-c}{b-d}=k$ (se puede ver fácil ya que $a=bk$ y $c=dk$). Esto, si bien es una trivialidad, da un grado más de juego cuando se está jugando con razones en geometría.
Solución: (corta)
Spoiler: mostrar
Con $G$ siendo la intersección de $EF$ con $AD$ y por ende $EG=GF=x$, y viendo que $CDE$, $CAD$ y $EAF$ son semejantes por criterio AAA, vale que
$$\frac{3}{2}=\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CD}=\frac{EA}{EF}=\frac{CA-EA}{CD-EF}=\frac{4}{6-x}$$
lo cual es una ecuación que al resolverse da $x=\frac{10}{3}$ y luego $EF=\frac{20}{3}$.
Es super copado el aporte del tecnicismo que dice Brunito, y aprovecho para agregar otro problema que me viene ahora a la cabeza (no de geometría) en el que hay posteada una solución utilizando ese mismo hecho, el Problema 2 del Selectivo de Cono 2013
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