Torneo de las Ciudades - Octubre 2018 - NM P5

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades - Octubre 2018 - NM P5

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 17 Mar, 2020 2:57 pm

Las tres medianas de un triángulo dividen sus ángulos en seis ángulos. Determinar el mayor valor posible $k$ de la cantidad de ángulos mayores que $30°$ que puede haber entre los seis.
NO HAY ANÁLISIS.

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Matías V5

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Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2018 - NM P5

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 05 Jun, 2020 1:39 pm

Spoiler: mostrar
Sea $ABC$ un triángulo con $AB \geq AC \geq BC$ y sean $AM, BN, CP$ las medianas.
Vamos a probar que los ángulos $\angle BAM$, $\angle CAM$, $\angle ABN$ necesariamente miden a lo sumo $30^{\circ}$.
Llamamos
$\begin{align}
h_A &= \text{distancia de $A$ a la recta $BC$,} \\
h_B &= \text{distancia de $B$ a la recta $AC$,} \\
h_C &= \text{distancia de $C$ a la recta $AB$.} \\
\end{align}$

Es claro entonces que $AM \geq h_A$, $BN \geq h_B$, $CP \geq h_C$. Usando esto y la relación de orden entre los lados que establecimos al principio obtenemos:
$AM \cdot AB \geq h_A \cdot BC = 2[ABC]$
$AM \cdot AC \geq h_A \cdot BC = 2[ABC]$
$BN \cdot AB \geq h_B \cdot AC = 2[ABC]$
Pero, por otra parte, $$AM \cdot AB \cdot \sin(\angle ABM) = 2[ABM] = [ABC].$$ Entonces $$[ABC]=AM \cdot AB \cdot \sin(\angle BAM) \geq 2[ABC]\cdot \sin(\angle BAM) \quad \Rightarrow \quad \sin(\angle BAM) \leq \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \angle BAM \leq 30^{\circ}.$$ (Notar que es imposible que sea $\angle BAM \geq 150^{\circ}$, ya que los ángulos $\angle A$ y $\angle B$ del triángulo sin agudos.)
Análogamente se prueba para los otros dos ángulos.
Este argumento prueba que $k \leq 3$.
Dejo pendiente para la próxima persona que postee mostrar un ejemplo de un triángulo con el valor máximo de $k$.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y

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