Torneo de las Ciudades - Marzo 2020 - NM P5

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Turko Arias

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Torneo de las Ciudades - Marzo 2020 - NM P5

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 13 Mar, 2020 2:54 am

Sea el cuadrilátero $ABCD$ inscripto en una circunferencia. Las circunferencias de diámetro $AB$ y $CD$ se cortan en dos puntos, $X_1$ e $Y_1$, las circunferencias de diámetros $BC$ y $AD$ se cortan en dos puntos $X_2$ e $Y_2$, las circunferencias de diámetro $AC$ y $BD$ se cortan en dos puntos, $X_3$ e $Y_3$. Demostrar que las rectas $X_1Y_1$, $X_2Y_2$, $X_3Y_3$ concurren en un punto.

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Joacoini

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Re: Torneo de las Ciudades - Marzo 2020 - NM P5

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 13 Mar, 2020 9:40 am

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Sea $O$ el circuncentro y $G$ el baricentro del cuadrilatero y sea $O'$ la reflexión de $O$ por $G$, vamos a demostrar que $O'$ se encuentra en uno de los ejes radicales y de manera análoga se demuestra que está en los otros dos.

Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $CD$, respectivamente, $G$ es el punto medio de $MN$ y como $MN$ y $OO'$ se bisecan tenemos que $MONO'$ es un paralelogramo.

$OM=O'N$ y $ON=O'M$.

Sea $R$ el radio del circunscripta de $ABCD$, como $O$ es el circuncentro $\angle OMA=90$ y por Pitagoras $OM^2=R^2-(\frac{AB}{2})^2$ y de forma análoga $ON^2=R^2-(\frac{CD}{2})^2$.

La potencia a un punto de $O'$ a la circunferencia de diámetro $AB$ es
$O'M^2-(\frac{AB}{2})^2=ON^2-(\frac{AB}{2})^2=R^2-(\frac{CD}{2})^2-(\frac{AB}{2})^2$

La potencia a un punto de $O'$ a la circunferencia de diámetro $CD$ es
$O'N^2-(\frac{CD}{2})^2=OM^2-(\frac{CD}{2})^2=R^2-(\frac{AB}{2})^2-(\frac{CD}{2})^2$

Cómo $O'$ tiene la misma potencia a un punto a las dos circunferencias entonces se encuentra en su eje radical $X_1Y_1$ y de forma análoga se ve que se encuentra en $X_2Y_2$ y en $X_3Y_3$.
IMG_20200313_093949.jpg
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