Torneo de las Ciudades - Marzo 2020 - NJ P5

[Joacoini]

Sea $ABCD$ un trapecio inscripto en una circunferencia, la base $AB$ es $3$ veces la base $CD$. Se trazan las tangentes a la circunferencia por $A$ y por $C$, que se cortan en $K$. Demostrar que el ángulo $K\widehat DA$ es recto.

[Joacoini]

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Por las tangencias tenemos que $KA=KC$ y como $ABCD$ es un trapecio isósceles tenemos que $AD=BC$ y $DB=CA$.
Sea $E$ el pie de la perpendicular desde $D$ a $AB$ tenemos que $AE=DC$ y que $EB=2DC$ por lo que si $M$ es el punto medio de $EB$ entonces $CM$ es perpendicular a $EB$ por lo que $ECB$ es isósceles y $EC=BC=DA$.
Por angulo seminscrito $\angle KAC=\angle CBA=\angle CBE$ y como los triángulos $KAC$ y $CEB$ son isósceles y los pares de ángulos iguales son el mismo entonces son semejantes y tenemos las siguientes razones.
$\frac{AK}{EC}=\frac{AC}{EB}$
Y usando las igualdades que tenemos.
$\frac{AK}{AD}=\frac{BD}{EB}$ y como $\angle KAD=\angle DBA=\angle DBE$ tenemos que $KAD$ y $DBE$ son semejantes y por lo tanto $\angle KDA=\angle DEB=90$

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