Determinar si es posible inscribir en una circunferencia un polígono de $N$ lados que tenga todos sus lados distintos y todos sus ángulos, medidos en grados, sean números enteros para
a) $N=19$
b) $N=20$
Se puede ver cada polígono como una serie de triángulos isósceles con todos los lados iguales saliendo de un mismo centro y con la misma medida, los ángulos en el centro suman $360$, y se llaman $a_1, a_2... a_n$ todos estos ángulos son distintos ya que todos los lados desiguales, es decir los lados del polígono son distintos, los ángulos de los vértices del polígono son $b_1, b_2...b_n$
$b_1=90-\frac{a_1}{2}+90-\frac{a_2}{2}$,
$b_2=90-\frac{a_2}{2}+90-\frac{a_3}{2}$,
...
$b_n= b_n=90-\frac{a_n}{2}+90-\frac{a_1}{2}$
Con $N=20$ se puede: $a_1=0,5 a_2=1,5 ...a_{19}=18,5 a_{20}=179,5$
$b_1=179, b_2=178 ..b_{18}=162, b_{19}=81, b_{20}=90$
Con $N=19$:
Si los $a$ son enteros y los ordenamos de menor a mayor con diferencia mínima de $2$, es decir $a_1=1, a_2=3...$ tenemos que la suma es $18*19+19=361$ pero esta debe ser $360$ asi que debe haber al menos una diferencia de $1$, por lo que hay al menos un $a$ par y al menos uno impar, como $19$ es impar y $360$ es par, hay una cantidad par de $a$ impares y una cantidad impar de $a$ pares entonces los $b$ donde se junta un triángulo con $a$ par y otro con $a$ impar tienen ángulos que son un entero mas $0,5$ y hay al menos un $a$ par asi que no se puede hacer el polígono con todos los $a$ enteros.
Entonces hay algún $a$ que no es entero pero esto implica que ningún $a$ es entero porque el $a$ que le sigue al $a$ decimal debe ser decimal para que su suma sea entera para que la division por $2$ de su suma es decir $b$ sea entero.
Como $a_k+a_{k+1}$ es entero, las partes decimales de dos $a$ consecutivos suman $1$, si estas son $d_1, d_2...d_n$ entonces se repiten de a $2$ y su suma es igual a $10*d_1+9*d_2$ que es entera ya que sumada a suma de las partes enteras da $360$, $9*d_1+9*d_2$ es entero y 360 es entero asi que $d_1$ es entero, lo cual es una contradicción asi que no se puede con $N=19$
$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$
