Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 3

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Monazo

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Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 14 Nov, 2019 10:28 am

Sea $\Gamma$ una circunferencia de centro $S$ y radio $r$ y $A$ un punto exterior a la circunferencia. Sea $BC$ un diámetro de $\Gamma$ tal que $B$ no pertenece a la recta $AS$, y consideramos el punto $O$ en el que se cortan las mediatrices del triángulo $ABC$, o sea, el circuncentro del $ABC$
Determinar todas las posibles ubicaciones del punto $O$ cuando $B$ varía en la circunferencia $\Gamma$.

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lichafilloy

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Re: Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por lichafilloy » Jue 14 Nov, 2019 5:01 pm

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Cómo $O$ es circuncentro de $ABC$, $AO = BO = CO$.
$O$ está en la mediatriz de $BC$, entonces $OS^2 + SC^2 = OC^2 = OB^2 = OS^2 + SB^2 = AO^2$ por pitágoras.
Notemos entonces que $AO^2 - OS^2 = SB^2 = r^2$ es constante.
Sea $P$ el punto en el que la recta perpendicular a $AS$ que pasa por $O$ corta a $AS$. Usando pitágoras se ve que $AP^2 - PS^2 = AO^2 - OS^2 = r^2$ que es constante. Luego, cómo $A$ y $S$ están fijos, y $P$ está sobre la recta $AS$, $P$ está fijo (Hay que ver esto en detalle, pero suponiendo que exise $Q$ distinto de $P$, sobre $AS$ que cumple la misma cuenta se llega a un absurdo). Luego, todos los puntos $D$ pertenecen a la recta perpendicular por $P$ a $AS$.
Tomando ahora un punto cualquiera sobre tal recta, llamemosle $O'$ trazamos la perpendicular a $O'S$ que corta a la circunferencia en $A'$ y $B'$, luego $O'A'^2 - O'S^2 = AP^2 - PS^2 = r^2 = SC'^2 = SB'^2$, entonces $O'A^2 = SB'^2 + O'S^2 = O'B'^2$ y analogamente a $O'C'^2$, entonces $O'A = O'B' = O'C'$, es decir, $O'$ es el circuncentro de $AB'C'$.
Luego, todo circuncentro de $ABC$ pertenece a tal recta y todo punto sobre esa recta es el circuncentro de $ABC$ para ciertos puntos $B$ y $C$.
Entonces, probamos que los puntos $O$ son todos los puntos de tal recta. (la perpendicular a $AS$ por $P$)
Última edición por lichafilloy el Jue 14 Nov, 2019 7:25 pm, editado 2 veces en total.
Master de Rumania y paz mundial

ricarlos
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Re: Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por ricarlos » Jue 14 Nov, 2019 5:45 pm

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Sea $D$ la interseccion del circuncirculo de $ABC$ con $AS$, luego por potencia de $S$ tenemos que $r^2=SA*SD$ de aqui que $SD=\frac{r^2}{SA}$, como el lado derecho de la ecuacion es cte es $SD$ y $AD$ tambien cte. Luego $O$ se mueve por la mediatriz de $AD$.
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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

maxiR

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Re: Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por maxiR » Jue 14 Nov, 2019 8:27 pm

Te faltaria ver que cualquier punto de la mediatriz puede ser $O$

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 15 Nov, 2019 2:07 am

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Fran5

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Re: Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 3

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 21 Nov, 2019 12:50 am

Solución en conjunto con @ Ivan continuando la idea de un participante
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El baricentro $G$ de $ABC$ está fijo (porque está en $AS$ y divide a la mediana en razón 2:1).

Por recta de Euler, hallar el lugar geométrico del circuncentro $O$ es equivalente a hallar el del ortocentro $H$.

Sean $D,E,F$ los pies de las alturas desde $A,B,C$ respectivamente.

Por potencia de un punto vemos que $$r^2:=AB \cdot AE =AC \cdot AF = AH \cdot AD$$ es la potencia de $A$ con respecto a $\Gamma$ y por lo tanto no depende de $B$.

Invirtiendo con centro $A$ y radio $r$, vemos que $H$ va a parar a $D$.

El lugar geométrico de $D$ es la circunferencia $\omega$ de diámetro $AS$.

Luego el lugar geométrico de $H$ es una recta perpendicular a $AS$ (el inverso de $\omega$).

Finalmente, el lugar geométrico de $O$ es una recta $l$ perpendicular a $AS$.
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"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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