Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NJ P4

[Joacoini]

Sea $O$ el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo $ABC$. Sea $P$ en la bisectriz interior del ángulo $\widehat B$ tal que $OP$ es perpendicular a esta bisectriz y sea $Q$ en la bisectriz exterior del angulo $\widehat B$ tal que $OQ$ es perpendicular a esta bisectriz. Demostrar que la recta $PQ$ divide al segmento que une a los puntos medios de $CB$ y $AB$ en dos parte iguales.

[Gianni De Rico]

Solución:

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Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $AB$, y sea $\omega$ la circunferencia de diámetro $BO$.
Como $OM$ y $ON$ son mediatrices de $BC$ y $AB$, tenemos que $OM\perp BC$ y $ON\perp AB$, además, $OP\perp BP$ y $OQ\perp BQ$, por lo tanto, $O,M,N,B,P,Q\in \omega$. Pero $BP$ y $BQ$ son las bisectrices interior y exterior de $\angle MBN$, por lo tanto, $PQ$ es mediatriz de $MN$, luego, corta a $MN$ en su punto medio.