Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NJ P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020
Mensajes: 308
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NJ P2

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 02 Nov, 2019 7:16 pm

Dos triángulos acutángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ son tales que $B_1$ y $C_1$ pertenecen al lado $BC$ y $A_1$ es un punto interior del triángulo $ABC$. Si $S$ y $S_1$ son las áreas de los triángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ respectivamente,
demostrar que $\frac{S}{AB+AC}>\frac{S_1}{A_1B_1+A_1C_1}$.
NO HAY ANÁLISIS.

BrunZo

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2018 FOFO 8 años - Mención Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020
Mensajes: 242
Registrado: Mar 21 Nov, 2017 8:12 pm
Medallas: 6
Nivel: 1

Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NJ P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Sab 11 Ene, 2020 7:12 pm

Otra Solución que va a ser completamente ignorada debido a que corresponde a un problema no importante de una competencia no importante, pero de todos modos voy a subir:
Spoiler: mostrar
geogebra-export.png
Sin rodeos: Sea $D$ el pie de la bisectriz por $A$ en $ABC$. Por propiedades de la bisectriz, queda claro que $D$ tiene la misma distancia a $AB$ y a $AC$, llamémosla $r$. De este modo, tomamos una circunferencia $\omega$ de radio $r$ centrada en $D$. Por lo que dijimos hace dos oraciones, vale que $\omega$ es tangente a $AB$ y a $AC$ ($\omega$ es la circunferencia del diagrama).

Lema: De todas las circunferencias contenidas en $ABC$ y centradas en un punto en el interior de $BC$, $\omega$ es la de mayor radio.
Demostración: Si la circunferencia tiene centro $D$, queda claro que no puede tener radio mayor que $r$, por lo que $\omega$ es óptima. Si no tiene centro en $D$, entonces el centro pertenece al interior de alguno de los segmentos $BD$ o $DC$. En los respectivos casos, queda claro que la distancia de este centro a $AB$ o a $AC$ va a ser menor que $r$ (por ejemplo, si el centro está en $BD$, su distancia a $AB$ es menor que si está en $D$, por lo que es menor a $r$). Pero si su radio es mayor o igual a $r$, entonces la perpendicular a $AB$ (o $AC$) cortará a está circunferencia en un punto más alejado que el mismísimo lado $AB$ (o $AC$), por lo que este punto estará afuera de $ABC$, y por ende la circunferencia no estaría completamente contenida en $ABC$. Por lo tanto, la circunferencia no puede tener radio mayor o igual a $r$, por lo que $\omega$ sigue invicta.

Habiendo demostrado esto, cabe hacer notar que $(AB+AC)r=AB\cdot r+AC\cdot r=2[ABD]+2[ACD]=2[ABC]=2S$, es decir, $\frac{S}{AB+AC}=\frac{r}{2}$. Pero construyendo una circunferencia análoga en $A_1B_1C_1$ (digamos, de radio $r_1$), tendríamos que $\frac{S_1}{A_1B_1+A_1C_1}=\frac{r_1}{2}$. Como la circunferencia de $A_1B_1C_1$ está contenida en $ABC$ y tiene centro en $B_1C_1$ (que pertenece a $BC$), podemos invocar al Gran Lema para ver que su radio $r_1$, debe ser menor o igual a $r$, es decir $r_1\leq r$. Pero queda claro que la nueva circunferencia no puede ser igual a $\omega$, por lo que esta desigualdad es estricta. Entonces $r_1<r$ y $\frac{r_1}{2}<\frac{r}{2}$ y $\frac{S_1}{A_1B_1+A_1C_1}<\frac{S}{AB+AC}$ y terminamos y todos felices y buen problema.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
1  

Responder