Nacional 2001 - N1 P5

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BrunZo

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Nacional 2001 - N1 P5

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 20 Oct, 2019 9:00 pm

Sea $ABCDE$ un pentágono de lados $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ y $EA$ tal que
$$\text{área} (ABC) = \text{área} (ABD) = \text{área} (ACD) = \text{área} (ADE) = 17$$
Calcular el área del triángulo $BCE$.

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Évarist_Galois
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Re: Nacional 2001 - N1 P5

Mensaje sin leer por Évarist_Galois » Jue 20 Feb, 2020 12:01 am

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Como el área de los triángulos $\triangle{ABC}$ y $\triangle{ABD}$ es la misma y comparten la base $\overline{AB}$, quiere decir que las alturas correspondientes a $C$ y $D$ en sus respectivos triángulos son de igual longitud y, por lo tanto, $AB \parallel CD$.

Lo mismo ocurre con $\triangle{ABD}$ y $\triangle{ACD}$ que comparten la base $AD$ y el área, por lo que las alturas correspondiente a $B$ y $C$ en ambos triangulos son iguales, de lo que se deduce que $AD \parallel BC$.

A partir de lo expuesto, se puede concluir que $ABCD$ es un paralelogramo y, por lo tanto, $\overline{BC}=\overline{AD}$.

Llamo $h$ a la altura correspondiente al vértice $E$ en el $\triangle ADE$.

Como las áreas de los triángulos $\triangle{ACD}$ y $\triangle{ADE}$ son iguales y comparten el lado $\overline{AD}$, entonces las alturas respecto de $\overline{AD}$ en ambos triangulos es la misma, que es coincidente con la altura correspondiente a $\overline{BC}$ en el triángulo $\triangle{ABC}$ pues tiene la misma área que $\triangle{ACD}$ y $\triangle{ADE}$ y, además, $\overline{BC}=\overline{AD}$.

La altura de $E$ en $\triangle{BCE}$ puede verse como la suma de las altura correspondiente a $\overline{BC}$ en $\triangle{ABC}$ y la correspondiente a $\overline{AD}$ en $\triangle{ADE}$. Esto sólo es válido porque $BC \parallel AD$ y los puntos $A$, $B$, $C$, $D$ pertenecen a esas rectas. Sin embargo, ambas alturas son iguales, por lo que la altura de $E$ en $\triangle{BCE}$ mide 2h.

Finalmente, el área de $\triangle{BCE}=\frac{\overline{BC}·2h}{2}= \overline{BC}·h$. Por otro lado, el área de $\triangle{ABC}=\frac{\overline{BC}·h}{2}=17$, de donde $\overline{BC}·h=2·17=34$. En consecuencia, el área de $\triangle{BCE}=34$.

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