IGO 2019 - Nivel Medio - P2

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BrunZo

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IGO 2019 - Nivel Medio - P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 30 Sep, 2019 7:40 pm

Hallar todos los cuadriláteros $ABCD$ tales que los cuatro triángulos $DAB$, $CDA$, $BCD$ y $ABC$ son semejantes entre sí.
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Joacoini

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Re: IGO 2019 - Nivel Medio - P2

Mensaje sin leer por Joacoini » Lun 30 Sep, 2019 10:43 pm

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Sea $ABCD$ un cuadrilatero con la propiedad del enunciado

Si en el triángulo $ABC$ el mayor angulo estricto no es $\angle ABC$ entonces uno de los otros dos es el mayor (puede ser no estricto) WLOG es $\angle BAC$.

En el triángulo $DAB$, $\angle DAB>\angle BAC$, como $DAB$ y $ABC$ son semejantes uno de los ángulos de $ABC$ es $\angle DAB$ pero eso significa que hay un angulo de $ABC$ mayor a $\angle BAC$, contradicción por lo tanto $\angle ABC$ es el mayor angulo de $ABC$.

Usando el mismo argumento en los triángulos $BCD$, $CDA$ y $DAB$ sabemos que en esos triángulos sus mayores ángulos son $\angle BCD$, $\angle CDA$ y $\angle DAB$, como todos estos triángulos (agregamos tambien $ABC$) son semejantes sus mayores ángulos son todos iguales por lo que los ángulos de $ABCD$ son todos iguales por lo tanto son todos $90$ y $ABCD$ es un rectángulo y es fácil chequear que cualquier rectángulo funciona
NO HAY ANÁLISIS.

BrunZo

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Re: IGO 2019 - Nivel Medio - P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 01 Oct, 2019 6:05 pm

Te entiendo...
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Joacoini escribió:
Lun 30 Sep, 2019 10:43 pm
$∠DAB>∠BAC$
geogebra-export.png
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Igual esto se resuelve fácil, si $ABCD$ es cóncavo, WLOG $D$ está en el interior de $ABC$.
Agarrás el lado mayor, digamos $AC$, y vale que $\angle ADC>\angle ABC$.
Pero como $AC$ es el mayor lado, $\angle ABC$ es el mayor ángulo, lo cual es absurdo, puesto que $\angle ADC$ debería ser uno de los ángulos del $ABC$ y es mayor que el más grande de ellos.
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