$ABC$ es un triángulo con incentro $I$. Se construyen puntos $P$ y $Q$ tales que $AB$ es bisectriz de $\angle{IAP}$, $AC$ es bisectriz de $\angle QAI$ y $\angle PBI+\angle IAB=\angle QCI+\angle IAC=90^\circ$. Las rectas $IP,IQ$ cortan $AB,AC$ en $K,L$, respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $APK$ y $AQL$ se cortan en $A$ y en $R$. Demostrar que $R$ pertenece a la recta que une los puntos medios de $BC$ y $KL$.
Los triángulos $AIC$ y $APB$ son semejantes y análogamente $AIB$ y $AQC$ son semejantes y con esto se puede afirmar que los cuadriláteros $APBI$ y $AICQ$ son semejantes y de esto obtenemos que $\frac{AL}{LC}=\frac{AK}{KB}$ y por Thales $KL$ y $BC$ son paralelas
De la semejanza tenemos que $\frac{AP}{AI}=\frac{AB}{AC}$ así que por criterio LAL los triángulos $PAI$ y $BAC$ son semejantes y análogamente $IAQ$ también.
$A\widehat PK=A\widehat KL=A\widehat BC$ y $A\widehat QL=A\widehat LK=A\widehat CB$ por lo que $KL$ es tangente a la circunscrita de $APK$ y de $AQL$ por lo que el punto medio de $KL$ tiene la misma potencia a un punto a las dos ($\left (\frac{KL}{2}\right )^2$) y pertenece al eje radical o sea a $AR$ y como $AKL$ y $ABC$ son homoteticos con centro $A$ esta recta tambien pasa por el punto medio de $BC$.
Es claro que $\angle ABP=\angle ACI$, $\angle QCA=\angle IBA$, luego, $APB$ y $AIC$ son rotohomotéticos, y $ACQ$ y $ABI$ son rotohomotéticos, por lo que $AIP$ y $ACB$ son rotohomotéticos, y $ACB$ y $AQI$ son rotohomotéticos, entonces $AIP$ y $AQI$ son rotohomotéticos, por lo tanto, $AKP$ y $ALI$ son rotohomotéticos, luego, $AKL$ y $ABC$ son rotohomotéticos, y como $A,B,K$ están alineados, tenemos que $AKL$ y $ABC$ son homotéticos, de donde $KL\parallel BC$. (1)
Además, como $AKL$ y $API$ son rotohomotéticos, y $P,K,I$ están alineados, tenemos que $KL$ es tangente a $\odot APK$, análogamente, $KL$ es tangente a $\odot AQL$. Así que el punto medio de $KL$ tiene la misma potencia respecto a $\odot APK$ y $\odot AQL$. (2)
Por (1) tenemos que el punto medio de $BC$ está sobre la recta $r$ que pasa por $A$ y el punto medio de $KL$, por (2) tenemos que $r$ es el eje radical de $\odot APK$ y $\odot AQL$, entonces $R$ también está sobre $r$. Y con eso estamos.