ONEM 2016 - Fase 4 - Nivel 2 - P3

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Maria Kun
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ONEM 2016 - Fase 4 - Nivel 2 - P3

Mensaje sin leer por Maria Kun » Dom 08 Sep, 2019 8:57 pm

Sea $P$ un punto interior de un triángulo $ABC$ tal que $\angle PAB=\angle PCA=\angle PBC-60°$ y
$PC=BC=\frac{AB}{\sqrt{2}}$. Halle la medida del ángulo $\angle PAB$.

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enigma1234

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Re: ONEM 2016 - Fase 4 - Nivel 2 - P3

Mensaje sin leer por enigma1234 » Lun 04 May, 2020 9:21 pm

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Sea $\alpha=\angle PAB=\angle PCA=\angle PBC-60^{\circ}$ y sea $B'$ el simétrico de $B$ con respecto a $C$. Entonces $AB^2=2BC^2=BC\times BB'$ entonces por antiparalelas $\angle BAC=\angle BB'A$, aparte tenemos que $\angle BAC=\angle PAB+\angle CAP=\angle PCA+\angle CAP=180^{\circ}-\angle APC\to APCB'$ es cíclico $\to \angle PB'A=\alpha$. Como $BC=CP=CB'\to \angle BPB'=90^{\circ}\to \angle PB'B=30^{\circ}-\alpha\to \angle BB'A=\angle BAC=30^{\circ}$.
Sea $H$ un punto en $AB'$ tal que $BH\perp AB'\to BH=\frac{BB'}{2}=BC=\frac{AB}{\sqrt{2}}\to$ en $\triangle ABH$ tendremos que $135^\circ\text{ o } 45^\circ=\angle BAH=30^\circ+30^\circ-\alpha<60^{\circ}\to \alpha=15^\circ$.
20200504_191548.jpg
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