Mayo 2017 Problema 3 Nivel 1

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tuvie

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Mayo 2017 Problema 3 Nivel 1

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 08 Sep, 2019 12:47 pm

Sea $ABCD$ un rombo de lados $AB=BC=CD=DA=13$. Sobre el lado $AB$ se construye el rombo $BAFE$, exterior al $ABCD$ y tal que el lado $AF$ es paralelo a la diagonal $BD$ del $ABCD$. Si el área del $BAFE$ es igual a $65$, calcular el área del $ABCD$.

Ianoni

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Re: Mayo 2017 Problema 3 Nivel 1

Mensaje sin leer por Ianoni » Vie 12 Jun, 2020 12:18 pm

Solución:
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Probablemente haya mejores, pero esto es un buen recurso :

viewtopic.php?f=6&t=4488

Llamamos $O$ a la intersección de las diagonales del rombo $ABCD$, ademas, cuando digo $A(ABC)$, me refiero al área de este mismo

Si llamamos $\alpha$ al $A\hat{B}O$, el angulo $A\hat{B}E$ es suplementario, con lo que $A\hat{B}E = 180 - \alpha$

Ademas, veamos que si trazamos $AE$ la diagonal del rombo $ABEF$ , obtenemos 2 triángulos congruentes por criterio $LAL$ ya que los ángulos opuestos en un rombo son iguales, ademas que todos los lados de un rombo son iguales, habiendo visto esto, $A(ABE) = \frac{65}{2}$, entonces planteamos con la propiedad lo siguiente:

$\frac{65}{2}$ $=$ $sin(180-\alpha) * \frac{13^2}{2}$

Despejamos el valor de $sin(180-\alpha)$, donde nos queda :

$sin(180-\alpha) = \frac{5}{13}$

Ahora, el triangulo $AOB$ es rectángulo porque las diagonales de un rombo son perpendiculares, entonces :

$sin(\alpha) = \frac{AO}{AB}$

$sin(\alpha) = \frac{AO}{13}$

Ademas, es conocido que $sin(180-\alpha) = sin(\alpha)$

Entonces, $\frac{AO}{13} = \frac{5}{13}$

Luego, $AO = 5$.

Ahora por pitagoras, calculamos $OB$,

$OB = \sqrt{AB^2 - AO^2 }$

$OB = \sqrt{13^2 - 5^2 }$

$OB = 12$

Entonces,

$A(AOB) = \frac{AO * OB}{2}$

$A(AOB) = \frac{5 * 12}{2}$

$A(AOB) = 30$

Como las diagonales de un rombo nos deja $4$ triángulos congruentes, el área de uno de estos sera igual a la de los demás, por lo que:

$A(ABCD) = 4 * A(AOB)$

$A(ABCD) = 4 * 30$

$A(ABCD) = 120$

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Gianni De Rico

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Re: Mayo 2017 Problema 3 Nivel 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 12 Jun, 2020 1:32 pm

Ianoni escribió:
Vie 12 Jun, 2020 12:18 pm
Solución:
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Probablemente haya mejores, pero esto es un buen recurso :

viewtopic.php?f=6&t=4488
Puede hacerse sin ese recurso, tomando tu dibujo tenemos que...
Spoiler: mostrar
Si $h$ es la altura a $BE$ desde $A$ en $BAFE$, su área es $BE\cdot h=BA\cdot h=13\cdot h$, usando que los lados de un rombo son iguales, pero por enunciado el área es $65$, entonces $h=5$. Ahora, los lados de un rombo son paralelos, por lo que $BE$ es paralelo a $BD$; y las diagonales de un rombo son perpendiculares, por lo que $AO$ es perpendicular a $BD$, entonces $AO=h$, así que $AO=5$, y por Pitágoras se sigue que $OB=12$, por la fórmula del área de rombo obtenemos la respuesta.
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