Hallar todos los valores posibles del entero $n>3$ tal que existe un polígono convexo de $n$ lados tal que cada diagonal es la mediatriz de al menos otra diagonal.
Sea $\mathcal {P}_n$ un polígono con las características del problema.
Sean $A, B, C $ tres vertices consecutivos del polígono, es decir los segmentos $AB$ y $BC $ son adyacentes. El punto $B$ es el único en el semiplano de borde $AC $ en el que está Lo que quiere decir que uno de los vertices de la diagonal que va a ser la mediatriz de $AC $ es $B $. Esto ya de pique muestra que todos los lados del polígono tienen la misma longitud.
Sea $D $ el punto "siguiente" a $C $, o sea un vértice del polígono tal que $CD $ es un lado y no una diagonal a demas de que $D \ne B $
Ahora tenemos que:
$C \in \mathcal {M}_z BD $ // $\mathcal {M}_z$ es la mediatriz
$B \in \mathcal {M}_z AC $
Ahora la mediatriz de $AD$ pasa o bien por $C $ o por $D $, no importa cual tome es lo mismo así que yo voy a elegir que pase por el punto $C $.
Como $AB = BC = CD = CA $ tenemos que el $\triangle ABC $ es equilátero.
Entonces tenemos 4 vertices del polígono de los cuales hay un triángulo equilatero por lo que hay 3 ángulos de 60 y uno de ellos también es ángulo de $\mathcal {P}_n$
Notese que si $a $ es la cantidad de angulos de 60 de $\mathcal {P}_n$ esto implica que si $n \geq 5 \Rightarrow a \geq 3$
$\mathcal {P}_n$ es convexo lo que quiere decir que todos los angulos interiores son menores que 180. Entonces tenemos la siguiente desigualdad:
$180 (n-2) < 60a + 180 (n-a) $
$180 (a-2) < 60a$
$180a - 360 < 60a$
$120a < 360$
$a < 3$ (se pueden hacer estas operaciones porque todos son números positivos)
La ecuación primera se puede generalizar mucho más pero no va en este problema así que ahora lo dejo de lado eso.
Bueno, el resultado $a < 3$ nos dice que $n < 5$ por lo que solo queda un valor, $n = 4$ que por supuesto que funciona, cualquier rombo es un ejemplo válido.
Resultado: $n = 4$ se puede y es el único valor posible
Juaco escribió: ↑Vie 16 Abr, 2021 1:40 am
El punto $B$ es el único en el semiplano de borde $AC $ en el que está Lo que quiere decir que uno de los vertices de la diagonal que va a ser la mediatriz de $AC $ es $B $. Esto ya de pique muestra que todos los lados del polígono tienen la misma longitud.
estas usando que "la mediatriz de una diagonal es otra diagonal", cuando el problema dice que "cada diagonal es la mediatriz de al menos otra diagonal."
Sea $P_1P_2\dots P_n$ un polígono convexo con la propiedad del problema($P_{n+1}=P_1$). Sin perdida de generalidad digamos que $\angle P_1P_2P_3$ es el mayor ángulo del polígono$\dots(1)$
Sabemos que $P_1P_3$ es la mediatriz de otra diagonal $P_iP_j$, $i<j$. Como $P_1$ y $P_3$ están a distintos lados de la recta $P_iP_j$ tenemos que necesariamente $i=2$. Luego de esta mediatriz , como es convexo y por $(1)$ tenemos:
$$\angle P_1P_2P_3=\angle P_1P_jP_3\leq \angle P_{j-1}P_jP_{j+1}\leq \angle P_1P_2P_3$$
por ende $\angle P_1P_jP_3= \angle P_{j-1}P_jP_{j+1}$, donde para que se de la igualdad debemos tener necesariamente $\{P_{j-1},P_{j+1}\}=\{P_1,P_3\}$ ($j\neq 2$) y por ende $j=4$ y $n=4$.
Para $n=4$ es claro ver que un cuadrado cumple la propiedad. Luego, el único valor posible es $n=4$.