Nacional 1996 - N1 P4

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BrunZo

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Nacional 1996 - N1 P4

Mensaje sin leer por BrunZo » Vie 06 Sep, 2019 10:53 pm

Sea $ABC$ un triángulo de área $7$. Se construye el triángulo $XYZ$ de la siguiente manera: se prolonga el lado $AB$ de modo que $AX = 2AB$, se prolonga el lado $BC$ de modo que $BY = 3BC$ y se prolonga el lado $CA$ de modo que $CZ = 4CA$. Hallar el área del triángulo $XYZ$.
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Ianoni

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Re: Nacional 1996 - N1 P4

Mensaje sin leer por Ianoni » Jue 18 Jun, 2020 5:39 pm

Solución :
Spoiler: mostrar
Propiedad super util : viewtopic.php?f=6&t=4488

Sabiendo esto:

Llamamos $\alpha$ al angulo $A\hat{B}C$, $\beta$ a $B\hat{A}C$y $\theta$ a $B\hat{C}A$, ademas :

$A(ABC) = sin(\alpha) * \frac{BC*AB}{2}$

$7 = sin(\alpha) * \frac{BC*AB}{2} $

$ sin(\alpha) = \frac{14}{BC * AB} (1)$

$7 = sin(\beta) * \frac{CA*AB}{2} $

$sin(\beta) = \frac{14}{CA * AB} (2)$

$7 = sin(\theta) * \frac{BC*CA}{2} $

$sin(\theta) = \frac{14}{BC*CA} (3)$

Es conocido que $ sin(180 - \alpha) = sin(\alpha)$

Tenemos que:

$A(XBY) = sin(180 - \alpha) * \frac{3BC*AB}{2}$ , entonces, remplazamos $(1)$ y nos queda :

$A(XBY) =\frac{14}{BC * AB} * \frac{3BC*AB}{2}$, si resolvemos, tenemos que :

$A(XBY) = 21$

Pasamos al triangulo $XAZ$:

$A(XAZ) = sin(180 - \beta) * \frac{3CA*"AB}{2}$, remplazamos $(2)$ :

$A(XAZ) = \frac{14}{CA * AB} * \frac{3CA*2AB}{2}$ resolvemos y nos queda que :

$A(XAZ) = 42$

Pasamos al triangulo $XCZ$:

Nos queda:

$A(XCZ) = sin(180 - \theta) * \frac{2BC*3CA}{2}$, remplazamos $(3)$ :

$A(XCZ) = \frac{14}{BC*CA} * \frac{2BC*3CA}{2}$, resolvemos :

$A(XCZ) = 56$

Entonces :

$A(XYZ) = A(XYB) + A(XAZ) + A(CXZ) + A(ABC)$

$A(XYZ) = 21 + 42 + 56 + 7$

$A(XYZ) = 126$

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