1er Selectivo Cono Sur 2019 Uruguay - Problema 2

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Sandy

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1er Selectivo Cono Sur 2019 Uruguay - Problema 2

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 31 Ago, 2019 9:29 pm

En el triángulo isósceles $ABC$ con $AB=AC$, se toma $D$ punto medio de $AC$ y $F$ en la semirrecta opuesta a $BC$ de forma tal que $BF=AD$. La recta $DF$ corta a $AB$ en $G$.
Calcular la razón entre las áreas de los triángulos $AGC$ y $GBC$.
$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

joa.fernandez

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Re: 1er Selectivo Cono Sur 2019 Uruguay - Problema 2

Mensaje sin leer por joa.fernandez » Lun 04 May, 2020 2:05 pm

Creo que está mal el enunciado, pero, en caso contrario:
Spoiler: mostrar
Como los $\triangle AGC$ y $\triangle GBC$ comparten altura respecto de sus bases ($AG$ y $GB$ respectivamente), el cociente entre sus áreas será $\frac {AG}{GB}$.
Por Menelao en el $\triangle ABC$, tenemos que:
$$\dfrac {FB}{FC} \dfrac {CD}{DA} \dfrac {AG}{GB} = 1~~\Rightarrow~~ \dfrac {AG}{GB} = \dfrac {FC}{FB}$$
Pero, $\dfrac {FC}{FB} = \dfrac {AD+BC}{AD}= 1 + \dfrac {BC}{AD}$
También, como $BC>0~~\Rightarrow~~\dfrac {BC}{AD}>0$ y $4AD>BC~~\Rightarrow~~4>\dfrac {BC}{AD}$ (por desigualdad triangular).
Entonces, podemos concluir que:
$$4>\dfrac {BC}{AD}>0~~\Rightarrow~~5>1+\dfrac {BC}{AD}>1~~\Rightarrow~~5>\dfrac {AG}{GB}>1$$

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