Problema 3 Nivel 2 Mayo 2019

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Turko Arias

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Problema 3 Nivel 2 Mayo 2019

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 26 Jul, 2019 4:12 am

En los lados $AB$, $BC$ y $CA$ de un triángulo $ABC$ se ubican los puntos $P$, $Q$ y $R$ respectivamente, tales que $BQ=2QC$, $CR=2RA$ y $\angle PRQ = 90°$. Demostrar que $\angle APR = \angle RPQ$.
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Turko Arias

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Re: Problema 3 Nivel 2 Mayo 2019

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 26 Jul, 2019 5:59 am

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Sea $N$ la intersección de $AB$ con $QR$. Aplicando Menelao en el triángulo $ABC$ con la recta $NQ$ tenemos $\frac{BQ}{CQ} \frac{CR}{AR} \frac{AN}{BN} = 2.2. \frac{AN}{BN}=1$, de donde $BN=4AN$. Ahora aplicando Menelao en el triángulo $BQN$ con la recta $AC$ tenemos $\frac{AN}{AB} \frac{BC}{CQ} \frac{QR}{NR}=\frac{1}{3} \frac{3}{1} \frac{QR}{NR}=1$, de donde $QR=NR$, pero mirando el triángulo $NPQ$ tenemos que $PR$ es altura y mediatriz, luego el triángulo es isósceles con $PN=PQ$ y por ende $PR$ también es bisectriz de $\angle NPQ$ como queríamos demostrar $\blacksquare$
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BrunZo

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Re: Problema 3 Nivel 2 Mayo 2019

Mensaje sin leer por BrunZo » Vie 26 Jul, 2019 12:29 pm

Solución:
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Sea $S$ la intersección de $QR$ en $AB$. Es claro que basta con demostrar que $QR=RS$, en cuyo caso $PQS$ es isósceles, de lo que se sigue el problema.
Sea $T$ en el lado $AB$ tal que $2AT=TB$. Tenemos que $RT\parallel BC$ y $RT=\frac{1}{3}BC$. Además, $BQ=\frac{2}{3}BC$. De este modo, como $RT=\frac{1}{2}BQ$, tenemos que $RS=\frac{1}{2}QS$, o sea que $QR=RS$ como queríamos.
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