Zonal N2 P3 2019

[tuvie]

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Creo que el resultado no es correcto. Ya que el angulo ADC es el doble del angulo ABC entonces ADC es un angulo central del circuncirculo de ABC, es decir que AD=BD=CD.

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El resultado es correcto, si completás los ángulos se puede ver que $\angle ADC=105°$, que no es en el doble de $\angle ABC=75°$. Incluso si lo fuera, esto no implica que $D$ sea el circuncentro de $ABC$, solamente significa que pertenece al arco $BC$ del circuncírculo de $BOC$ que contiene a $O$, donde $O$ es el circuncentro de $ABC$. Hay infinitos puntos que cumplen eso, como ya se discutió acá.

El enunciado así como esta no es el que se tomo en la prueba, asi como esta enunciado vale que $\angle ADC = 2 \angle ABC$, y vale que $BD=DC$. Notemos que esto no implica que $D$ sea el circuncentro en general, esto indica que $D$ pertenece tanto a la circunferencia circunscrita del triángulo $AOC$ como a la mediatriz de $BC$. Es claro que $O$ pertenece a dicha intersección, pero no es necesariamente única (aunque si podemos afirmar que son a lo sumo dos puntos).

Para este enunciado en particular (NO el que se tomo en la prueba, si no con $\angle ADC = 150$), resulta que el otro punto de intersección es $A$, por lo que para que quede en el interior si debería ser el circuncentro, o sea $D = O$.

En cuanto al problema del Zonal, debería decir $\angle BDC = 150$.

[Gianni De Rico]

Para este enunciado en particular (NO el que se tomo en la prueba, si no con $\angle ADC = 150$)

Debo haber leído mal el enunciado entonces, si es así, ricarlos tiene razón.

[ricarlos]

Yo recontra juraria que el enunciado de Joaconi decia ADC=150, me base en eso (de hecho el edito luego que Nacho_Sami hiciese la observacion, no se pero alguien volvio a editar)

[Gianni De Rico]

Yo recontra juraria que el enunciado de Joaconi decia ADC=150, me base en eso (de hecho el edito luego que Nacho_Sami hiciese la observacion, no se pero alguien volvio a editar)

Probablemente haya sido @tuvie después de su post, los moderadores pueden editar los mensajes de otros usuarios, así que supongo que lo cambió para dejar correcto el enunciado

[Joacoini]

Yo recontra juraria que el enunciado de Joaconi decia ADC=150, me base en eso (de hecho el edito luego que Nacho_Sami hiciese la observacion, no se pero alguien volvio a editar)

Yo puse ABC=150, alguien me dijo que lo puse mal y que en vez de eso era ADC=150, lo edite y al final el que me corrigió también estaba mal por lo que después un admin me lo edito.

[tuvie]

Si jajaja, lo cambie yo después de publicar el post.

[Elias Cordero]

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Ahora, por otro lado, tenemos como información que AB=12 y se puede decir que el triángulo ABE es un medio equilátero donde BE es el lado opuesto al ángulo de 30° y es así que obtenemos que BE = 6 (porque en los triángulos equiláteros, todos sus lados son iguales y al trazar la altura, esta corta perpendicularmente al lado y lo divide en 2 iguales, así que si AB=12 entonces BE=6)
Y acá ya tenemos todos los datos para calcular el área del triángulo ABE, solo basta con utilizar la forma trigonométrica de la fórmula del área de un triángulo, esta es: A. ABE= ½ AB . BE . sen(<ABE)= ½ 12 . 6 . sen(60)=6 . 6 . √3/2=3 . 6 . √3=18√3 (medida en unidades de superficie)

En esta parte no se si es mejor pero podrías aplicar la fórmula para saber el área apartir de dos ángulos y un lado conocidos, y quedaria así:

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(12^2*sen30*sen60)/(2*Sen(30+60))

[Ulis7s]

$Resolución:$

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Observemos por suma de ángulos interiores: $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 75$
$\widehat{DBC} = \widehat{DCB} = 15$
Luego: $\widehat{ABE} = 60$
Entonces $ABE$ es medio equilátero. Luego su área es:
$[ABE] = 6 . 6sqrt{3} ÷ 2 = 18sqrt{3}$