Regional 2011 - N2 P3

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Caro - V3

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Regional 2011 - N2 P3

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Vie 16 Sep, 2011 7:38 pm

Sea [math] un rectángulo de lados [math], [math], [math] y [math], con [math] mayor que [math]; sea [math] el punto medio de [math] y [math] el punto de la diagonal [math] tal que [math] es perpendicular a [math]. Si además [math] es perpendicular a [math], calcular [math].
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

bruno
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Re: Regional 2011 - N2 P3

Mensaje sin leer por bruno » Sab 17 Sep, 2011 5:02 am

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Imagen

Sea [math] el punto de interseccion de las diagonales y [math] el punto de interseccion de [math] y [math]. Por propiedad de los rectangulos [math]; entonces el triangulo [math] es isosceles con [math] y luego [math]. Tomamos ahora el triangulo [math]; sabemos que [math] y [math], entonces [math]. Tomamos ahora el triangulo [math]; sabemos que [math] y [math], entonces [math]. Tomamos ahora el triangulo [math]; sabemos que [math] , [math] y que [math], entonces [math] y el triangulo es isosceles con [math]

Tomamos ahora el triangulo [math], dado que [math] es el punto medio de [math]; [math] es mediana con respecto al lado [math]. Aplicando teorema de las medianas

[math]

[math]

[math]

[math]

Utilizando Pitagoras en el mismo triangulo

[math]
[math]
[math]

Finalmente aplicando Pitagoras en el triangulo[math]

[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]

Entonces

[math]

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Aldana
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Re: Regional 2011 - N2 P3

Mensaje sin leer por Aldana » Dom 18 Sep, 2011 5:03 pm

Otra solución, la comento rapidamente.
Spoiler: mostrar
Llamamos [math] y [math] a los puntos de las intersecciones (como Bruno).
Sea [math] y [math]
Luego [math] (que sale con semejanza) y [math]
Por otro lado, [math]es cíclico pues[math]
Entonces, por arco capaz,[math]
Por ser [math] si [math]
Aplicando Pitágoras en [math], nos queda [math]
Finalmente [math]
Si algo no se entiende, pregunten.

chr0nos
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Re: Regional 2011 - N2 P3

Mensaje sin leer por chr0nos » Mar 20 Sep, 2011 8:59 pm

Otra solución

Imagen
Usando la imagen de Bruno.

Tenemos que [math] es un triángulo rectángulo, entonces puedo decir que [math].

[math] es la mediatriz de la hipotenusa, y, así, [math] y por lo tanto [math] y [math] son isósceles. Llamo [math] al ángulo [math], y [math] al ángulo [math].

Como [math] es rectángulo y con un ángulo [math] en [math], [math].

Como [math] es rectángulo y tiene un ángulo [math] en [math], entonces [math]. Así podemos deducir que [math], ya que suma [math] con [math].

Y si [math], entonces [math] es equilátero con todos ángulos [math].

Y como [math] y [math], [math]

Así, tenemos que [math]
Última edición por chr0nos el Mié 21 Sep, 2011 12:09 am, editado 1 vez en total.

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Vladislao

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Re: Regional 2011 - N2 P3

Mensaje sin leer por Vladislao » Mar 20 Sep, 2011 10:06 pm

chr0nos escribió:Otra solución

Imagen

[math] es la mediatriz de la hipotenusa, y, así, [math] y por lo tanto [math] y [math] son isósceles. Llamo [math] al ángulo [math], y [math] al ángulo [math].
Hola:

Tu solución es incorrecta. Fijate en eso que recuadré. Lo que vos tenés es que [math], si suponés que además [math] es trivial que el [math] es equilátero y llegás al resultado. El problema está en que no demostraste que esto sea así.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

chr0nos
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Re: Regional 2011 - N2 P3

Mensaje sin leer por chr0nos » Mar 20 Sep, 2011 11:08 pm

Vladislao escribió:
chr0nos escribió:Otra solución

Imagen

[math] es la mediatriz de la hipotenusa, y, así, [math] y por lo tanto [math] y [math] son isósceles. Llamo [math] al ángulo [math], y [math] al ángulo [math].
Hola:

Tu solución es incorrecta. Fijate en eso que recuadré. Lo que vos tenés es que [math], si suponés que además [math] es trivial que el [math] es equilátero y llegás al resultado. El problema está en que no demostraste que esto sea así.
Tenés razón, ese no es el par que es igual, es el otro. Tengo que revisarlo. Igual en la prueba hice más cosas, ahora me fijo que hice mal. Gracias.

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julianferres_

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Re: Regional 2011 - N2 P3

Mensaje sin leer por julianferres_ » Mié 20 Feb, 2013 12:56 am

Denotamos [math]

Despejando vemos que [math]

Entonces[math] [math]

[math] Por el teorema de Apolonio[math]

Pero como el triángulo [math] es rectángulo en [math], [math]

Entonces, [math]

[math]

[math]

[math]

[math] [math]

Por [math] y [math]

Se deduce que [math] Y el triángulo [math] es equilátero
Por lo tanto [math] Y [math]

Sabemos entonces que [math] y que el triángulo [math]es medio equilátero.

Por tanto [math] y

[math]
[math]

[math]

[math]

[math]

P.D= Disculpen si por casualidad repetí alguna solución, pero necesito ir calentando para el año :)

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Matías V5

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Re: Regional 2011 - N2 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 20 Feb, 2013 4:03 am

Sólo quería comentar que el hecho de que la mediana correspondiente a la hipotenusa mide lo mismo que la mitad de la hipotenusa es una propiedad muy conocida que vale en cualquier triángulo rectángulo, y (además de que se puede usar libremente en una prueba) se puede demostrar sin necesidad de recurrir al teorema de Apolonio, que en este caso puede resultar excesivo.
Más información en http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=6&t=1036
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"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

tuvie

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Re: Regional 2011 - N2 P3

Mensaje sin leer por tuvie » Mié 04 Sep, 2013 8:56 pm

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Sea [math] el punto donde se intersecan las diagonales del rectángulo. Sea [math]. Como [math], entonces, [math]. Como [math], entonces [math]. Notemos que [math], pues [math]. Sea [math] el punto de intersección de [math] con [math]. Notemos que como [math], entonces [math]. Como [math], entonces [math]. Pero [math], entonces [math], de donde sigue que [math]. Notemos que [math] yace sobre la mediatriz de [math]. Sea [math] el punto medio de [math]. Entonces [math] y por el teorema de Thales tenemos que [math] (1). Notemos que los triángulos [math] y [math] son semejantes, y tenemos lo siguiente:
[math]
.
Notemos que podemos utilizar (1) y nos queda que [math]. Pero [math], de donde concluimos que [math] y estamos.

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Gianni De Rico

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Re: Regional 2011 - N2 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 24 Sep, 2018 7:57 pm

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Sea $G$ el punto de intersección de $AC$ y $BD$, como las diagonales de un rectángulo son iguales y se cortan en su punto medio tenemos $AG=BG$, entonces $\angle BGE=\angle EGA$ y $\angle GEB=90°$. Como $\angle GFB=90°$ resulta que $BEGF$ es cíclico, de donde $\angle BGF=\angle BEF=90°-\angle GBE=\angle BGE=\angle EGA$, entonces $3\angle BGF=180°\Rightarrow \angle BGC=\angle BGF=60°$. Pero $GE\perp AB\perp CB\Rightarrow GE\parallel CB$, entonces $\angle BCA=60°$, por lo que $\triangle BCA$ es medio equilátero y $\frac{AB}{BC}=\sqrt{3}$.
Queda Elegantemente Demostrado

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