IMO 2005 - P5

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BC=AD$ y $BC\not \parallel AD$. Sean $E$ y $F$ puntos en los lados $BC$ y $AD$, respectivamente, que satisfacen $BE=DF$. Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en $P$, las rectas $BD$ y $EF$ se cortan en $Q$, las rectas $EF$ y $AC$ se cortan en $R$. Consideremos todos los triángulos $PQR$ que se forman cuando $E$ y $F$ varían. Demuestre que las circunferencias circunscritas a esos triángulos tienen otro punto en común además de $P$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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Joacoini

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Re: IMO 2005 - P5

Mensaje sin leer por Joacoini »

Spoiler: mostrar
Si $T$ es el centro de la rotohomotecia que manda a $AD$ a $CB$, como $\frac{AF}{FD}=\frac{CE}{EB}$ también manda a $AF$ a $CE$ y por la construcción del centro de una rotohomotecia tenemos que $APTD$ y $ARTF$ son cíclicos.

$\angle QPT=\angle DPT=\angle DAT=\angle FAT=\angle FRT=\angle QRT$

Por lo que $PQTR$ es cíclico aún cuando $E$ y $F$ varían.
NO HAY ANÁLISIS.

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