Regional 1995 N3 P1

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gustavo3
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Mensaje sin leer por gustavo3 » Sab 13 Sep, 2014 4:29 pm

Tomando como vértices los puntos de intersección de las prolongaciones de los lados de un hexágono regular H0 se obiene un nuevo hexágono regular H1. De la misma manera, a partir de H1 se construye H2 y así sucesivamente. ¿Cuál es el primer hexágono Hn cuya área es mayor que 1995 veces el área del hexágono H0?

ktc123

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Re: Regional 1995 N3 P1

Mensaje sin leer por ktc123 » Sab 13 Sep, 2014 5:22 pm

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Primero hay que ver que si [math] es el lado de [math], entonces el lado de [math] va a medir [math]. Demostración:


Partamos de un hexágono de vértices [math], [math], [math], [math], [math], [math] y sean [math] la intersección de [math] con [math], y [math] la intersección de [math] con [math]. Al ser regular, los ángulos internos van a medir [math], entonces [math] (todo por simetría y por paralelas). De eso resulta que [math] es equilátero, entonces si el lado del hexágono es [math], [math], de donde [math]. Análogamente, resulta que [math] es equilátero y que [math]. Como [math], resulta que [math] es el circuncentro de [math], entonces al estar [math] sobre el punto medio de un lado del triángulo, sigue que [math]. Aplicando pitágoras al [math], resulta que [math] (siendo [math] el lado del nuevo hexágono).



Sabemos que el área de un hexágono regular en función de un lado [math] es [math]. Luego si [math] tiene lado [math], el área de [math] va a ser [math], es decir que [math]. Si procedemos inductivamente resulta que [math]. Pero nosotros tenemos que encontrar el menor [math] tal que [math], es decir, el menor [math] tal que [math]. Por lo tanto [math] es la respuesta, o mejor dicho, el hexágono [math].
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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 10 Jun, 2017 11:26 pm

Tomando como vértices los puntos de intersección de las prolongaciones de los lados de un hexágono regular [math] se obtiene un nuevo hexágono regular [math]. De la misma manera, a partir de [math] se construye [math] y así sucesivamente. ¿Cuál es el primer hexágono [math] cuya área es mayor que [math] veces el área del hexágono [math]?
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Gianni De Rico

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Re: Regional 1995 N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 10 Jun, 2017 11:50 pm

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Llamo punto prolongado al punto que se obtiene al realizar la operación. Notemos que los puntos prolongados junto con los dos vértices más cercanos (es decir, el punto que se obtiene de la intersección de las rectas que pasan por esos vértices pero no por los dos a la vez) forman triángulos equiláteros, por lo tanto, un vértice y sus dos puntos prolongados más cercanos (los que se obtienen con las dos rectas que pasan por el vértice) forman un triángulo isósceles de lados iguales congruentes con los del hexágono anterior y el ángulo entre ellos de [math]. Estos triángulos están formados por dos medio-equiláteros por lo que su lado desigual [math] mide [math]. El área de un triángulo equilátero de lado [math] es [math], como un hexágono regular está formado por [math] triángulos equiláteros su área es [math]. Combinando estas dos ecuaciones obtenemos:
[math]. Es decir que el área de un hexágono es [math] veces el área del hexágono anterior y por lo tanto el hexágono [math] tendrá [math] veces el área del hexágono [math]. Como [math] tenemos que [math]. Por lo que el hexágono pedido es [math]
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Re: Regional 1995 N3 P1

Mensaje sin leer por JPablo » Dom 11 Jun, 2017 1:31 pm


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Gianni De Rico

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Re: Regional 1995 N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 11 Jun, 2017 6:15 pm

No lo encontré en el Archivo de Enunciados y pensé que no estaba jaja
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Peznerd
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Re: Regional 1995 N3 P1

Mensaje sin leer por Peznerd » Vie 08 Nov, 2019 2:20 am

Gianni De Rico escribió:
Dom 11 Jun, 2017 6:15 pm
No lo encontré en el Archivo de Enunciados y pensé que no estaba jaja
Me pasó igual recién...
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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