Sea [math]\triangle ABC un triángulo con [math]AB=10 y [math]BC=15. Sea [math]M el punto medio de [math]AC, y sea [math]D un punto en el lado [math]AC tal que [math]\angle ABD = \angle MBC. Si [math]AD=4, determinar la longitud del segmento [math]AC.
Sea [math]\theta = 1,3063778838... Para todo entero positivo [math]k se cumple que [math]\left\lfloor \theta^{3^k}\right\rfloor es un número primo.
Usando la extensión del teorema del seno, como [math]M es punto medio se nos cancela una razón y nos queda que [math]\frac{\sin(M \hat{B}C)}{\sin(A \hat{B}M)}=\frac{AB}{BC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}. Luego, sea [math]x=\sin(M \hat{B}C)=\sin(D \hat{B}A), tenemos que [math]\frac{3}{2}x=\sin(D \hat{B}C)=\sin(A \hat{B}M), al tenerse que [math]A \hat{B}C-A \hat{B}D=A\hat{B}C - C\hat{B}M. Sea ahora [math]y=\sin(A \hat{D}B)=\sin(B \hat{D}C). Usando el teorema del seno en [math]ABD tenemos que [math]\frac{y}{x}=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{4}. Luego, [math]y=\frac{10}{4}x. Usando teorema del seno en [math]BCD, tenemos que [math]\frac{\frac{10}{4}x}{\frac{3}{2}x}=\frac{BC}{DC}=\frac{15}{DC}=\frac{5}{3}. Luego, [math]DC=9, y [math]AC=9+4=13, completando así la solución.
Primero demostremos que el punto [math]D se encuentra en el segmento [math]AM. Para ello, sea [math]B el punto de intersección de la bisectriz de [math]\angle B con [math]AC. Por el teorema de la bisectriz se tiene que [math]\frac{BC}{AB}=\frac{15}{10}=\frac{CE}{EA}, con lo cual la longitud de [math]CE es mayor que la longitud de [math]EA, es decir, que [math]E se encuentra entre [math]A y [math]M. En particular, el ángulo [math]\angle MBC es menor que [math]\frac{\angle B}{2}, y por ende, [math]\angle ABD también va a ser menor que [math]\frac{\angle B}{2}. Así con concluimos que [math]D se encuentra entre [math]A y [math]M.
Sea [math]F la reflexión de [math]B con respecto de [math]M. También sea [math]G en [math]MC tal que [math]GC=4 y sea [math]H la intersección de la semirrecta [math]FG con [math]BC.
Está claro que [math]ABCF es un paralelogramo, y que por la simetría del problema [math]CF=10 y [math]\angle MBC=\angle ABD=\angle CFH. Entonces [math]\angle CFH resulta ser ángulo semi-inscrito de [math]\angle FBH, y [math]FC un segmento tangente a la circunferencia circunscripta de [math]\triangle FBH. Por potencia del punto [math]C con respecto a dicha circunferencia: [math]CF^2=CB\cdot CH\Rightarrow 10^2=15\cdot CH\Rightarrow CH=\frac{20}{3} y [math]HB=\frac{25}{3}. Por el teorema de Menelao en [math]\triangle BMC:
Como $\angle ABD=\angle MBC$ y $M$ es punto medio, tenemos que $BD$ es la $B$-simediana de $\triangle ABC$, luego $\frac{DC}{4}=\frac{DC}{DA}=\frac{BC^2}{BA^2}=\frac{15^2}{10^2}\Rightarrow DC=9\Rightarrow AC=AD+DC=4+9=13$