P3 Nivel Mayor Primer pretorneo de las ciudades 2011
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Sea $ABCD$ un trapecio isósceles de bases $BC$ y $AD$, con $BC<AD$ y lados $AB=CD$, tal que tiene una circunferencia inscrita. Demostrar que la bisectriz de $\angle C$ divide al cuadrilátero en dos figuras de áreas iguales.
Aclaración: La circunferencia inscrita a un trapecio es la circunferencia tangente a sus cuatro lados.
Aclaración: La circunferencia inscrita a un trapecio es la circunferencia tangente a sus cuatro lados.
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Vladislao
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Re: P3 Nivel Mayor Primer pretorneo de las ciudades 2011
Hay muchas formas de hacerlo. Acá una:
- Spoiler: mostrar Sea
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amcandio
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Vladislao
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Re: P3 Nivel Mayor Primer pretorneo de las ciudades 2011
Muy buena la solución, igual, para ver lo de que [math] tenés que probar que [math], y para eso tenés que hacer cíclicos. Igual, calculo que agarraste la notación que puse yo en la anterior.amcandio escribió:
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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Vladislao
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Re: P3 Nivel Mayor Primer pretorneo de las ciudades 2011
Dejo una variante un poquito más interesante del problema:
Siendo $P=\overrightarrow{AD}\cap\overrightarrow{CI}$ y siendo $N$ el pie de la perpendicular a $CD$ trazada desde $P$, demostrar que $PN^2=AD\cdot BC$
Siendo $P=\overrightarrow{AD}\cap\overrightarrow{CI}$ y siendo $N$ el pie de la perpendicular a $CD$ trazada desde $P$, demostrar que $PN^2=AD\cdot BC$
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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amcandio
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Re: P3 Nivel Mayor Primer pretorneo de las ciudades 2011
Use la notacion de tu sol, Q es el pie de la perpendicularVladislao escribió: Muy buena la solución, igual, para ver lo de que [math] tenés que probar que [math], y para eso tenés que hacer cíclicos.
"Prillo es el Lanata de la trigonometria"
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Re: P3 Nivel Mayor Primer pretorneo de las ciudades 2011
La condicion suficiente y necesaria para que un cuadrilatero tenga una circunferencia inscripta es que la suma de sus lados opuestos sea igual. Sea $E$ la interseccion de la bisectriz de $C$ con $AD$, por alternos $\angle DCE=\angle BCE=\angle CED$, luego, el triangulo $CDE$ es isoceles con $CE=DE$. Tenemos $AD+BC=AB+CD=2CD\Rightarrow DE+AE+BC=2CD\Rightarrow AE+BC=CD=ED$.
Finalmente, si $h$ es la altura del trapecio:
$2(CDE)=h\cdot ED=h\cdot (AE+BC)=h\cdot AE+h\cdot BC=2(ABE)+2(BCE)=2(ABCE)\Rightarrow (CDE)=(ABCE)$, estamos listos
Finalmente, si $h$ es la altura del trapecio:
$2(CDE)=h\cdot ED=h\cdot (AE+BC)=h\cdot AE+h\cdot BC=2(ABE)+2(BCE)=2(ABCE)\Rightarrow (CDE)=(ABCE)$, estamos listos
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Gianni De Rico
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Re: P3 Nivel Mayor Primer pretorneo de las ciudades 2011
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