Selectivo 21° Cono Sur 2010 - Problema 3

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Matías V5

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Selectivo 21° Cono Sur 2010 - Problema 3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 17 Mar, 2011 12:08 am

Sea [math] un triángulo. Consideramos puntos [math] y [math] del interior de los lados [math] y [math], respectivamente, tales que [math]. Sean [math] el punto medio del lado [math] y [math] el punto de intersección de las rectas [math] y [math]. Demostrar que el simétrico de [math] con respecto a [math] pertenece a la bisectriz del ángulo [math].
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Nacho

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Re: Selectivo 21° Cono Sur 2010 - Problema 3

Mensaje sin leer por Nacho » Dom 04 Mar, 2012 8:59 pm

Spoiler: mostrar
Definimos como [math] al simétrico de [math] con respecto a [math]. Tenemos por definición que [math]. Se ve fácilmente entonces que [math] es un paralelogramo. Como [math], tenemos que [math]. De la misma manera, como [math], se tiene que [math].

Apliquemos Teorema del Seno sobre [math]: tenemos que [math].
Análogamente, aplicamos Teorema del Seno sobre [math]: se tiene que [math].

Igualando las dos identidades que obtuvimos, llegamos a [math].

Notemos que [math] y [math] ya que [math] es un paralelogramo. Queremos demostrar entonces que [math].

Aplicando Teorema del Seno en [math] y [math], se tiene que [math] y [math]. Manipulando dichas identidades haciendo uso de la condición del enunciado [math], pasamos a tener que [math]. Pero por Teorema del Seno en [math] se tiene que [math], de donde [math], C.Q.D.
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Daniel
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Re: Selectivo 21° Cono Sur 2010 - Problema 3

Mensaje sin leer por Daniel » Lun 23 Jul, 2012 7:43 pm

Justo estaba pensando este problema (por que estoy viejo y nostálgico) y se me ocurrió una solución.
Spoiler: mostrar
Para probar que [math] está en la bisectriz hay que ver que está a la misma distancia de los lados [math] y [math]. Pero como [math] es equivalente a ver que los triángulos [math] y [math] tienen el mismo área (pues tendrían la misma base [math] y la misma altura ya que equidistan de los lados).
Es claro que [math] es un parelologramo, luego [math] parelela a [math] lo que implica que [math] (Noto entre paréntesis al área). Análogamente [math] es paralela a [math] lo que dice que [math]. Por último basta notar que [math] pues [math] es un parelologramo, y nos queda lo que queríamos.
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malen.arias

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Re: Selectivo 21° Cono Sur 2010 - Problema 3

Mensaje sin leer por malen.arias » Dom 29 Jul, 2018 10:12 pm

Otra con un enfoque bastante distinto
Spoiler: mostrar
Llamamos $P'$ al simétrico de $P$ con respecto a $M$.
Prolongamos $AC$ y $BP'$ y llamamos a su intersección $F$.
Por propiedades de la reflexión $APBP'$ es un paralelogramo.
Como $AP'\parallel BE$, por Thales $\frac{AF}{AE}=\frac{FP'}{BP'}$ y como $AE=BD$, $\frac{AF}{BD}=\frac{FP'}{BP'}$.
Como $AD\parallel FB$, por Thales $\frac{CF}{AF}=\frac{BC}{BD}\Rightarrow\frac{CF}{BC}=\frac{AF}{BD}$
Entonces, $\frac{CF}{BC}=\frac{FP'}{BP'}$, por el teorema de la bisectriz $CP'$ es bisectriz de $\hat{C}$.
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