La longitud del menor de los lados de un triángulo [math]T es mayor que [math]1 y menor que [math]2. Determinar si es posible partir [math]T en tres triángulos tales que cada uno de ellos tenga algún lado de longitud [math]1. En caso afirmativo, mostrar cómo hacerlo y en caso negativo, justificar por qué no es posible.
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Inicialmente tenemos nuestro triángulo [math]\overset{\bigtriangleup}{ABC}
Sin pérdida de generalidad decimos ue el segmento [math]\overline{AB} es el más pequeño.
Ahora, como [math]\overline{AB}<2, entonces puedo marcar un punto [math]D que este a distancia [math]1 de [math]A y [math]B, lo marco en "el mismo semiplano que [math]C respecto de [math]\overleftrightarrow{AB}
Ahora el punto [math]D tiene 2 posibilidades, una es que este dentro del área del triángulo [math]ABC.
TNA1.jpg
Aqui tenemos [math]\overline{AD}=\overline{BD}=1 basta con trazar [math]\overline{AD}, \overline{BD}, \overline{CD} para que el triángulo [math]\overset{\bigtriangleup}{ABC} quede dividido en 3:
-[math]\overset{\bigtriangleup}{ADB} con [math]\overline{AD}=\overline{DB}=1
-[math]\overset{\bigtriangleup}{ADC} con [math]\overline{AD}=1
-[math]\overset{\bigtriangleup}{BDC} con [math]\overline{BD}=1
He aquí nuestra victoria.
En el otro caso, el punto nos queda fuera (o sobre [math]\overline{CD})
TNA2.jpg
Cuando sucede esto lo primero que decimos es "¡La pucha!", pero si observamos bien, respecto de alguno de los puntos [math]A o [math]B, el punto [math]D quedó del otro lado del lado opuesto. Sin pérdida de generalidad, decimos que es [math]A.
Como [math]A y [math]D estan a ambos lados de la recta, observamos que la circunferencia de centro [math]A y radio [math]\overline{AD}=1 corta a la recta [math]\overleftrightarrow{CB} en al menos un punto. (Si [math]D \in \overline{CB} entonces este punto es [math]D).
Como [math]C y [math]B se encuentran a ambos lados de [math]\overline{AD} y estan ambos fuera del círculo de centro [math]A y radio [math]1. (Por ser [math]\overline{AC} \geq \overline{AB} > 1.
Entonces el punto en el que la circunferencia dada corta a la recta [math]\overleftrightarrow{BC} se encuentra entre [math]B y [math]C.
Por lo tanto, existe un punto [math]R \in \overline{BC} tal que [math]\overline{AR}=1
Luego de marcado este segmento, sabemos que [math]\overline{AC} \geq \overline{AB} > 1, por lo tanto existe [math]E tal que [math]\overline{CE}=1.
TNA3.jpg
Trazamos [math]\overline{ER} y nos quedan 3 triángulos.
-[math]\overset{\bigtriangleup}{ARB} con [math]\overline{AR}=1
-[math]\overset{\bigtriangleup}{ARE} con [math]\overline{AR}=1
-[math]\overset{\bigtriangleup}{CRE} con [math]\overline{CE}=1
Y ahora si, demostramos que podemos partir nuestro triángulo.
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♪♫Nuestro ARG2 es nuestro ejemplo. 'Efe de equis mas one!'♫♪
