Selectivo 50° IMO 2009 - Problema 3

[Matías V5]

Sea [math]ABC un triángulo, [math]B_1 el punto medio del lado [math]AB y [math]C_1 el punto medio del lado [math]AC. Sea [math]P el punto de intersección ([math]\neq A) de las circunferencias circunscritas a los triángulos [math]ABC_1 y [math]AB_1C. Sea [math]Q el punto de intersección ([math]\neq A) de la recta [math]AP y la circunferencia circunscrita al triángulo [math]AB_1C_1. Demostrar que [math]\frac{AP}{AQ} = \frac{3}{2}.

[Nacho]

Consideremos la inversión con centro [math]A y algún radio [math]r. [math]AC se invierte sobre sí misma, con [math]C' en el punto medio de [math]AC'_1. Análogamente, [math]AB se invierte sobre sí misma, con [math]B' en el punto medio de [math]AB'_1. La circunferencia circunscripta de [math]AB_1C_1 pasa por [math]A y se invierte a una recta que no pasa por [math]A pero pasa por [math]B'_1 y [math]C'_1. Análogamente, la circunferencia circunscripta a [math]AB_1C se invierte a la recta [math]B'_1C' y la circunferencia circunscripta a [math]AC_1B se invierte a la recta [math]C'_1B'. Por lo tanto, el punto de intersección de las medianas [math]C'_1B' y [math]B'_1C es [math]P', y la mediana que sale del vértice [math]A intersecta a [math]B'_1C'_1 en [math]Q'. Por propiedad de las medianas, [math]\frac{AQ'}{AP'} = \frac{3}{2}. Pero por la inversión tenemos que [math]\frac{AQ'}{AP'} = \frac{AP}{AQ} = \frac{3}{2}, como queríamos demostrar.

[Gianni De Rico]

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Sean $\Gamma _B,\Gamma _C$ los circuncírculos de $\triangle APB$ y $\triangle APC$; $B_2,C_2$ los centros de $\Gamma _B,\Gamma _C$; $B_3,C_3$ los opuestos diametrales de $A$ en $\Gamma _B,\Gamma _C$; $O$ el circuncentro de $\triangle ABC$; $M$ el punto medio de $B_3C_3$ y $\Omega$ el circuncírculo de $\triangle AB_1C_1$
Por arco capaz tenemos $A\widehat BB_3=A\widehat CC_3=A\widehat PB_3=A\widehat PC_3=A\widehat {B_1}C_3=A\widehat {C_1}B_3=90°$
Por base media $B_1B_2\parallel BB_3$ y $C_1C_2\parallel CC_3\Rightarrow A\widehat {B_1}B_2=A\widehat BB_3=A\widehat CC_3=A\widehat {C_1}C_2=90°$
Por ser $O$ circuncentro y $B_1,C_1$ puntos medios resulta $A\widehat {B_1}O=A\widehat {C_1}O=90°$
De todos estos ángulos obtenemos que $B_1,B_2,C_3,O$ son colineales y $C_1,C_2,B_3,O$ son colineales. Como $B_2,C_2$ son centros de $\Gamma _B,\Gamma _C$ y $AB_3,AC_3$ son diámetros de $\Gamma _B,\Gamma _C$ resulta que $B_2,C_2$ son los puntos medios de $AB_3,AC_3\Rightarrow O$ es el baricentro de $\triangle AB_3C_3\Rightarrow A,O,M$ son colineales y $\frac{AM}{AO}=\frac{3}{2}$. Además $A\widehat {B_1}O=A\widehat {C_1}O=90°\Rightarrow O\in \Omega \Rightarrow A\widehat QO=90°=A\widehat PM\Rightarrow OQ\parallel MP\Rightarrow \frac{AP}{AQ}=\frac{AM}{AO}=\frac{3}{2}$

[maxiR]

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Vamos a suponer que $ABC$ es acutángulo (los otros dos casos son analógos.
Lema $1$:$\triangle BB_1C_1\simeq \triangle QPC_1$ y $\triangle B_1CC_1\simeq\triangle B_1QP$

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Demostración: Por arco capáz, $\angle B_1PQ=\angle B_1PA=\angle B_1CA=\angle BCC_1 (1)$
y $\angle B_1QP=180°-\angle B_1QA=180°-\angle B_1C_1A=\angle B_1C_1C(2)$.
De $(1)$ y $(2)$, $\triangle B_1C_1C\simeq\triangle B_1QP$.Análogamente $\triangle BB_1C_1\simeq\triangle QPC_1$ y estamos.

Lema $2$:$\frac{PQ}{B_1A}=\frac{PC}{B_1C}$.

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Demostración: Por el lema $1$ se desprende que, $\frac {QC_1}{B_1C_1}=\frac{PQ}{B_1B} (1)$
Por arco capáz, $\angle C_1B_1Q=\angle C_1AQ=\angle CAP=\angle CB_1P \wedge \angle B_1C_1Q=\angle B_1AQ=\angle B_1AP=\angle B_1CP \Rightarrow \triangle B_1PC\simeq\triangle B_1QC_1\Rightarrow\frac{QC_1}{B_1C_1}=\frac{PC}{B_1C}(2)$
De $(1)$ y $(2)$, $\frac {PQ}{B_1A}=\frac{PC}{B_1C}$ y estamos.

Por arco capáz, $\angle CPQ=\angle CPA=\angle C_1B_1A$.Por el Lema $2$ y lo anterior, $\triangle PCQ\simeq\triangle B_1CA\Rightarrow\angle PCQ=\angle B_1C_1A\Rightarrow\angle QCA=\angle PCB_1=\angle PAB_1=\angle QAB_1=\angle B_1C_1Q (1)$.
Además, $\angle QB_1C_1=\angle QAC_1=\angle QAC
(2)$.De $(1)$ y $(2)$, $\triangle B_1C_1Q\simeq\triangle ACQ\Rightarrow\frac {AC}{AQ}=\frac {B_1C_1}{B_1Q} (*)$.
Por el Lema $1$, $\frac{B_1C_1}{B_1Q}=\frac{CC_1}{PQ} (**)$.De $(*)$ y $(**)$, $\frac {C_1C}{PQ}=\frac {AC}{AQ} $.Pero $AC=2CC_1\Rightarrow AQ=2PQ\Rightarrow \frac {AP}{AQ}=\frac {3PQ}{2PQ}=\frac {3}{2}$ y estamos.