Selectivo 50° IMO 2009 - Problema 3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado
Mensajes: 897
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico

Selectivo 50° IMO 2009 - Problema 3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Dom 06 Mar, 2011 4:29 pm

Sea [math] un triángulo, [math] el punto medio del lado [math] y [math] el punto medio del lado [math]. Sea [math] el punto de intersección ([math]) de las circunferencias circunscritas a los triángulos [math] y [math]. Sea [math] el punto de intersección ([math]) de la recta [math] y la circunferencia circunscrita al triángulo [math]. Demostrar que [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

Avatar de Usuario
Nacho

Colaborador OFO - Jurado
Mensajes: 562
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 10:28 pm
Medallas: 3
Nivel: Exolímpico

Re: Selectivo 50° IMO 2009 - Problema 3

Mensaje sin leer por Nacho » Dom 06 Mar, 2011 5:04 pm

Consideremos la inversión con centro [math] y algún radio [math]. [math] se invierte sobre sí misma, con [math] en el punto medio de [math]. Análogamente, [math] se invierte sobre sí misma, con [math] en el punto medio de [math]. La circunferencia circunscripta de [math] pasa por [math] y se invierte a una recta que no pasa por [math] pero pasa por [math] y [math]. Análogamente, la circunferencia circunscripta a [math] se invierte a la recta [math] y la circunferencia circunscripta a [math] se invierte a la recta [math]. Por lo tanto, el punto de intersección de las medianas [math] y [math] es [math], y la mediana que sale del vértice [math] intersecta a [math] en [math]. Por propiedad de las medianas, [math]. Pero por la inversión tenemos que [math], como queríamos demostrar.
"Though my eyes could see I still was a blind man"

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 829
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Selectivo 50° IMO 2009 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 21 Jun, 2018 6:00 pm

Spoiler: mostrar
Sean $\Gamma _B,\Gamma _C$ los circuncírculos de $\triangle APB$ y $\triangle APC$; $B_2,C_2$ los centros de $\Gamma _B,\Gamma _C$; $B_3,C_3$ los opuestos diametrales de $A$ en $\Gamma _B,\Gamma _C$; $O$ el circuncentro de $\triangle ABC$; $M$ el punto medio de $B_3C_3$ y $\Omega$ el circuncírculo de $\triangle AB_1C_1$
Por arco capaz tenemos $A\widehat BB_3=A\widehat CC_3=A\widehat PB_3=A\widehat PC_3=A\widehat {B_1}C_3=A\widehat {C_1}B_3=90°$
Por base media $B_1B_2\parallel BB_3$ y $C_1C_2\parallel CC_3\Rightarrow A\widehat {B_1}B_2=A\widehat BB_3=A\widehat CC_3=A\widehat {C_1}C_2=90°$
Por ser $O$ circuncentro y $B_1,C_1$ puntos medios resulta $A\widehat {B_1}O=A\widehat {C_1}O=90°$
De todos estos ángulos obtenemos que $B_1,B_2,C_3,O$ son colineales y $C_1,C_2,B_3,O$ son colineales. Como $B_2,C_2$ son centros de $\Gamma _B,\Gamma _C$ y $AB_3,AC_3$ son diámetros de $\Gamma _B,\Gamma _C$ resulta que $B_2,C_2$ son los puntos medios de $AB_3,AC_3\Rightarrow O$ es el baricentro de $\triangle AB_3C_3\Rightarrow A,O,M$ son colineales y $\frac{AM}{AO}=\frac{3}{2}$. Además $A\widehat {B_1}O=A\widehat {C_1}O=90°\Rightarrow O\in \Omega \Rightarrow A\widehat QO=90°=A\widehat PM\Rightarrow OQ\parallel MP\Rightarrow \frac{AP}{AQ}=\frac{AM}{AO}=\frac{3}{2}$
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
[math]

Responder