XXXVI Torneo de las Ciudades Otoño 2014 NM P6

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
LuchoLP

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XXXVI Torneo de las Ciudades Otoño 2014 NM P6

Mensaje sin leer por LuchoLP » Mar 28 Oct, 2014 4:16 pm

Había un triángulo de alambre con ángulos de [math], [math], [math]. El profesor Rucucu dobló cada lado del triángulo en [math] en algún punto. Como resultado obtuvo un hexágono no convexo de ángulos [math], [math], [math], [math], [math], [math]. Demostrar que los puntos de doblez dividen a los lados del triángulo inicial en la misma proporción. (8 PUNTOS)

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Gianni De Rico

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Re: XXXVI Torneo de las Ciudades Otoño 2014 NM P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 22 Jun, 2020 3:37 pm

Si entendí bien el problema, esto debería funcionar
Spoiler: mostrar
Sea $ABC$ el triángulo (con $\angle A=x$, $\angle B=y$, $\angle C=z$) y sean $D,E,F$ los puntos de doblez en los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. Tenemos que $\angle FAE=x-1°$, $\angle DBF=y-1°$ y $\angle ECD=z-1°$.
Digamos que $\angle CBD=\alpha$, luego, $\angle DCB=1°-\alpha$, entonces $\angle ACE=\angle ACB-\angle ECD-\angle DBE=z-\left (z-1°\right )-\left (1°-\alpha \right )=\alpha$, por lo tanto $\angle EAC=1°-\alpha$, y así $\angle BAF=\alpha$, de donde $\angle FBA=1°-\alpha$. Es decir, $BCD\simeq CAE\simeq ABF$, entonces $\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}$, y con eso estamos.
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