Segundo Pretorneo de las Ciudades 2014 NM P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
LuchoLP

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Segundo Pretorneo de las Ciudades 2014 NM P3

Mensaje sin leer por LuchoLP » Lun 16 Jun, 2014 11:47 pm

Sea [math] un triángulo y [math] un punto del lado [math] tal que [math] es el doble de largo que la mediana [math]. Además, se sabe que [math]. Demostrar que [math] es perpendicular a [math]. ACLARACIÓN: La mediana [math] es el segmento que une el vértice [math] con el punto medio [math] del lado [math]. ([math] PUNTOS)

ktc123

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Re: Segundo Pretorneo de las Ciudades 2014 NM P3

Mensaje sin leer por ktc123 » Mar 17 Jun, 2014 4:25 pm

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Sea [math] la reflexión de [math] por [math], entonces como [math] es punto medio de [math] y [math] resulta que [math] es un paralelogramos, es decir, que [math]. También tenemos que [math]. Como [math], la distancia entre [math] y [math] la denominamos como [math]. Ahora vamos a demostrar que [math]. Sabemos que [math] y que [math], entonces [math](I). Sea [math] la intersección de [math] y [math]. La igualdad (I) se puede dar si [math] o si [math], esto último es imposible ya que nos quedaría [math], luego [math] y por suma de ángulos internos en [math], [math], es decir que [math]
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Agusanso

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Re: Segundo Pretorneo de las Ciudades 2014 NM P3

Mensaje sin leer por Agusanso » Mar 17 Jun, 2014 5:48 pm

Si trazamos la paralela a MC por A y la unimos con BC el problema muere. Llamamos P a esta intersección. Notemos que MC es base del triángulo BAP (AM=MB por el enunciado), entonces 2MC=AP. Sabemos por el enunciado que 2MC=AL, por lo tanto AL=AP. En particular el triágulo ALP tiene dos lados iguales y sabemos que ALP=45°, de acá sale que LAP=90°. AM//MC entonces (llamemos Q a la intersección de AL y MC) LAP=LQC, y sabemos que esto medía 90°, entonces LQC=90° y; AL y MC son perpendiculares
Aguante el paco vieja

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Julian_Ferres

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Re: Segundo Pretorneo de las Ciudades 2014 NM P3

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Mié 18 Jun, 2014 1:07 am

Tengo una tercer solución... Dejo una ayuda en spoiler y mañana subo la sol.
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Marcar el punto medio de [math]

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Gianni De Rico

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Re: Segundo Pretorneo de las Ciudades 2014 NM P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 29 Ago, 2018 9:42 pm

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Sea $G$ la intersección de la paralela a $BC$ por $M$ y la recta $AL$. Por Thales $\frac{GL}{AL}=\frac{MB}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow GL=\frac{1}{2}AL=CM$. Por tener dos lados paralelos y dos diagonales iguales resulta que $CGML$ es un trapecio isósceles, luego, $L\widehat CM=C\widehat LG=45°$, que es suficiente para afirmar que $CM\perp GL\parallel AL$
Queda demostrado el problema.
[math]

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