Iberoamericana 2003 - Problema 2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Caro - V3

Colaborador OFO - Jurado
Mensajes: 356
Registrado: Sab 16 Oct, 2010 4:20 pm
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico

Iberoamericana 2003 - Problema 2

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Sab 07 Jun, 2014 3:53 pm

Sean [math] y [math] dos puntos de la semicircunferencia de diámetro [math] tales que [math] y [math] están en semiplanos distintos respecto de la recta [math]. Denotemos [math], [math] y [math] a los puntos medios de [math], [math] y [math], respectivamente. Sean [math] y [math] los circuncentros de los triángulos [math] y [math]. Demuestre que las rectas [math] y [math] son paralelas.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

Avatar de Usuario
Caro - V3

Colaborador OFO - Jurado
Mensajes: 356
Registrado: Sab 16 Oct, 2010 4:20 pm
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico

Re: Iberoamericana 2003 - Problema 2

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Sab 07 Jun, 2014 4:29 pm

Spoiler: mostrar
Sea [math] el centro de la semicircunferencia. Sean [math] y [math] los puntos medios de [math] y [math] respectivamente. Sean [math] e [math] los puntos de intersección de [math] con [math] y [math] respectivamente.
2003-2.png
Como [math], [math] y [math], tenemos que [math]. Además, [math], [math] y [math] son las mediatrices de [math], [math] y [math], por lo tanto [math].
Entonces (por teorema de Thales), [math].

[math], [math], [math] y [math] son los puntos medios de los lados del cuadrilátero [math]. Por teorema de Varignon, [math] es un paralelogramo, y esto nos dice que [math] y [math] se bisecan.
[math] es mediana de [math].

[math] también biseca a [math] (porque [math]).
Como [math] pertenece a [math] y [math] pertenece a [math], podemos aplicar este lema y concluir que [math].
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 760
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Iberoamericana 2003 - Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 06 Ago, 2018 7:32 pm

Spoiler: mostrar
Sea $O$ el centro de la semicircunferencia, entonces $O$ es el punto medio de $AB$; $OM$ y $ON$ son mediatrices de $AC$ y $BD$; y por Varignon $NOMP$ es un paralelogramo $\Rightarrow MP\parallel ON\perp BD\wedge NP\parallel OM\perp AC$ (*). Sea $G=AC\cap BD$, y sean $\Gamma _1$, $\Gamma _2$ y $\Gamma _3$ los circuncírculos de $APC$, $BPD$ y $ABCD$ respectivamente. Entonces $GA$ y $GB$ son ejes radicales de ($\Gamma _1$ y $\Gamma _3$) y ($\Gamma _2$ y $\Gamma _3$) respectivamente, de donde $G$ es el centro radical de $\Gamma _1$, $\Gamma _2$ y $\Gamma _3$, en particular, $GP$ es eje radical de $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$, luego, $GP\perp O_AO_B$.
Por (*) tenemos que $MP\perp GN$ y $NP\perp GM$, de donde $P$ es el ortocentro de $GMN$, por lo tanto $GP\perp MN$.
Finalmente $O_AO_B\perp GP\perp MN\Rightarrow O_AO_B\parallel MN$. QED
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
[math]

Responder