Regional 1995, N3 P3

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Hechicero

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Regional 1995, N3 P3

Mensaje sin leer por Hechicero »

Dados tres puntos no alineados [math], [math], [math], construir una circunferencia con centro en [math] tal que una de las tangentes trazadas desde [math] sea paralela a una de las tangentes trazadas desde [math]. Indicar los pasos de la construcción.
No poder demostrar algo, pero saber que se cumple, es estar condenado a una vida de mediocres ideas.
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Fran5

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Re: Regional 1995, N3 P3

Mensaje sin leer por Fran5 »

Spoiler: mostrar
Voy a poner un pequeño lema que conocí por ahí

Dados tres puntos colineales [math] que determinan dos segmentos [math] y [math] que están en proporción [math] y una recta [math] que no es perpendicular a la recta [math]
Los segmentos marcados por las proyecciones [math] de [math] respectivamente están en razón [math]

Demostración: Thales

Ahora, volviendo al problema, como dos tangentes son paralelas, se sigue que los puntos de contacto [math] y [math] con la circunferencia determinan un diámetro ([math] sería el punto medio [math])

Además, observamos que [math]

Si trazamos una perpendicular a [math] por [math], que corta a [math] en [math], tenemos que [math] son las proyecciones de [math] en una recta indeterminada

Y como se cumple el lema, tenemos que [math] es el punto medio de [math]

Construcción:

Marcamos el punto medio [math] de [math]
Trazamos la recta [math] y por [math] y [math] trazamos dos paralelas a [math]
Trazamos la perpendicular a [math] por [math] que corta a las dos paralelas en [math] y [math] respectivamente

La circunferencia de centro [math] y radio [math] cumple lo pedido

Y estamos :D
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Santi's AI

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Re: Regional 1995, N3 P3

Mensaje sin leer por Santi's AI »

Creo que esta forma no es la forma en la que el enunciado quiere que lo resolvamos pero según entiendo también es correcta
Spoiler: mostrar
Trazamos la recta $AB$. Luego el radio de la circunferencia con centro en $C$ será tal que la recta $AB$ sea tangente a esta circunferencia. Entonces vemos que una de las tangentes desde $B$ con la circunferencia es la misma que una de las tangentes desde $A$, así que se cumple que ambas son paralelas entre si.
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