Dados tres puntos no alineados [math]A, [math]B, [math]C, construir una circunferencia con centro en [math]C tal que una de las tangentes trazadas desde [math]A sea paralela a una de las tangentes trazadas desde [math]B. Indicar los pasos de la construcción.
No poder demostrar algo, pero saber que se cumple, es estar condenado a una vida de mediocres ideas.
Dados tres puntos colineales [math]A,B,C que determinan dos segmentos [math]AB y [math]AC que están en proporción [math]a:b y una recta [math]l que no es perpendicular a la recta [math]AC
Los segmentos marcados por las proyecciones [math]A',B',C' de [math]A,B,C respectivamente están en razón [math]a:b
Demostración: Thales
Ahora, volviendo al problema, como dos tangentes son paralelas, se sigue que los puntos de contacto [math]A_c y [math]B_c con la circunferencia determinan un diámetro ([math]C sería el punto medio [math]A_cB_c)
Además, observamos que [math]A \hat{A_c}C=B \hat{B_c}C=90^{\circ}
Si trazamos una perpendicular a [math]A_cB_c por [math]C, que corta a [math]AB en [math]M, tenemos que [math]A_c,C,B_c son las proyecciones de [math]A,M,B en una recta indeterminada
Y como se cumple el lema, tenemos que [math]M es el punto medio de [math]AB
Construcción:
Marcamos el punto medio [math]M de [math]AB
Trazamos la recta [math]CM y por [math]A y [math]B trazamos dos paralelas a [math]CM
Trazamos la perpendicular a [math]CM por [math]C que corta a las dos paralelas en [math]A_c y [math]B_c respectivamente
La circunferencia de centro [math]C y radio [math]CA_c cumple lo pedido
Trazamos la recta $AB$. Luego el radio de la circunferencia con centro en $C$ será tal que la recta $AB$ sea tangente a esta circunferencia. Entonces vemos que una de las tangentes desde $B$ con la circunferencia es la misma que una de las tangentes desde $A$, así que se cumple que ambas son paralelas entre si.