Regional 2001 N3 P3

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JPablo
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Regional 2001 N3 P3

Mensaje sin leer por JPablo » Sab 26 Abr, 2014 1:55 pm

Sea [math] un triángulo rectángulo con [math], [math] y [math]. Se considera [math] en el lado [math] tal que [math]. Si [math] es el centro de la circunferencia que es tangente al lado [math] y pasa por [math] y [math], calcular la medida de [math].

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JPablo
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Re: Regional 2001 N3 P3

Mensaje sin leer por JPablo » Sab 26 Abr, 2014 2:04 pm

Spoiler: mostrar
Primero calculamos [math]: por el Teorema de Pitágoras tenemos que

[math]

Luego [math], de donde [math] y por lo tanto [math].

Sea [math] el punto de tangencia de la circunferencia con [math]. Entonces [math] y como [math] entonces [math].

Como [math] por ser radios de la circunferencia, entonces [math] es isósceles y por lo tanto la mediana correspondiente a [math] es perpendicular a [math]. Sea [math] esa mediana. Entonces, como [math] y [math], además de que [math], el cuadrilátero [math] es un rectángulo. Entonces [math].

Como [math] es la mediana correspondiente al vértice [math] de [math] entonces

[math]

Luego [math]. Como [math] y además [math], entonces [math]. Por el Teorema de Pitágoras en [math] (recordemos que [math]) tenemos

[math]

Y finalmente, usando nuevamente el Teorema de Pitágoras pero en [math], tenemos

[math]

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Gianni De Rico

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Re: Regional 2001 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 17 Sep, 2018 3:30 pm

Spoiler: mostrar
Por Pitágoras $AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{78^2-72^2}=30$. Además $AB=AD+BD=AD+2AD=3AD\Rightarrow AD=\frac{AB}{3}=\frac{30}{3}=10\Rightarrow BD=20$
Sea $G$ el punto donde la circunferencia del enunciado es tangente a $BC$, por Potencia de un Punto $BG=\sqrt{BD\cdot BA}=\sqrt{20\cdot 30}=10\sqrt{6}$. Por Pitágoras $DG=\sqrt{BD^2+BG^2}=\sqrt{20^2+600}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}$ y $AG=\sqrt{AB^2+BG^2}=\sqrt{30^2+600}=\sqrt{1500}=10\sqrt{15}$
Luego $\frac{AD\cdot BG}{2}=(ADG)=\frac{AD\cdot DG\cdot AG}{4OG}$ de donde $OG=\frac{DG\cdot AG}{2BG}=\frac{10\sqrt{10}\cdot 10\sqrt{15}}{2\cdot 10\sqrt{6}}=\frac{5\cdot \sqrt{2\cdot 5}\cdot \sqrt{3\cdot 5}}{\sqrt{2\cdot 3}}=5\cdot 5\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}=25$
Finalmente por Pitágoras $OB=\sqrt{OG^2+BG^2}=\sqrt{25^2+600}=35$
Queda Elegantemente Demostrado

Peznerd
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Re: Regional 2001 N3 P3

Mensaje sin leer por Peznerd » Sab 09 Nov, 2019 4:38 pm

JPablo escribió:
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Como $OA=OD=OT$ por ser radios de la circunferencia, entonces $OAD$ es isósceles y por lo tanto la mediana correspondiente a $O$ es perpendicular a $AD$. Sea $OM$ esa mediana. Entonces, como $OM\perp AB$ y $BC\perp AB$, además de que $AB\parallel OT$, el cuadrilátero $ABTO$ es un rectángulo. Entonces $OT=BM$.
Nunca justificaste que $AO \parallel BT$
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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