Regional 2001 N3 P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
JPablo
Mensajes: 356
Registrado: Lun 25 Mar, 2013 9:00 pm
Nivel: Exolímpico

Regional 2001 N3 P3

Mensaje sin leer por JPablo » Sab 26 Abr, 2014 1:55 pm

Sea [math] un triángulo rectángulo con [math], [math] y [math]. Se considera [math] en el lado [math] tal que [math]. Si [math] es el centro de la circunferencia que es tangente al lado [math] y pasa por [math] y [math], calcular la medida de [math].

Avatar de Usuario
JPablo
Mensajes: 356
Registrado: Lun 25 Mar, 2013 9:00 pm
Nivel: Exolímpico

Re: Regional 2001 N3 P3

Mensaje sin leer por JPablo » Sab 26 Abr, 2014 2:04 pm

Spoiler: mostrar
Primero calculamos $AB$: por el Teorema de Pitágoras tenemos que

$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{78^{2}-72^{2}}=30$

Luego $AB=30=AD+BD=AD+2AD=3AD$, de donde $AD=10$ y por lo tanto $BD=AB-AD=30-10=20$.

Sea $T$ el punto de tangencia de la circunferencia con $BC$. Entonces $OT\perp BC$ y como $BC\perp AB$ entonces $AB\parallel OT$.

Como $OA=OD=OT$ por ser radios de la circunferencia, entonces $OAD$ es isósceles y por lo tanto la mediana correspondiente a $O$ es perpendicular a $AD$. Sea $OM$ esa mediana. Entonces, como $OM\perp AB$ y $BC\perp AB$, además de que $AB\parallel OT$, el cuadrilátero $MBTO$ es un rectángulo. Entonces $OT=BM$.

Como $OM$ es la mediana correspondiente al vértice $O$ de $OAD$ entonces

$MD=AM=\frac{AD}{2}=\frac{10}{2}=5$

Luego $BM=BD+MD=20+5=25$. Como $OT=BM$ y además $OT=OA=OD$, entonces $OD=25$. Por el Teorema de Pitágoras en $OMD$ (recordemos que $OM\perp AD$) tenemos

$OM=\sqrt{OD^{2}-MD^{2}}=\sqrt{25^{2}-5^{2}}=10\sqrt{6}$

Y finalmente, usando nuevamente el Teorema de Pitágoras pero en $OBM$, tenemos

$OB=\sqrt{BM^{2}+OM^{2}}=\sqrt{25^{2}+\left ( 10\sqrt{6} \right )^{2}}=35$
Última edición por JPablo el Mié 11 Dic, 2019 2:51 pm, editado 1 vez en total.

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial OFO - Medalla de Oro OFO - Jurado
Mensajes: 1160
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 3
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Regional 2001 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 17 Sep, 2018 3:30 pm

Spoiler: mostrar
Por Pitágoras $AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{78^2-72^2}=30$. Además $AB=AD+BD=AD+2AD=3AD\Rightarrow AD=\frac{AB}{3}=\frac{30}{3}=10\Rightarrow BD=20$
Sea $G$ el punto donde la circunferencia del enunciado es tangente a $BC$, por Potencia de un Punto $BG=\sqrt{BD\cdot BA}=\sqrt{20\cdot 30}=10\sqrt{6}$. Por Pitágoras $DG=\sqrt{BD^2+BG^2}=\sqrt{20^2+600}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}$ y $AG=\sqrt{AB^2+BG^2}=\sqrt{30^2+600}=\sqrt{1500}=10\sqrt{15}$
Luego $\frac{AD\cdot BG}{2}=(ADG)=\frac{AD\cdot DG\cdot AG}{4OG}$ de donde $OG=\frac{DG\cdot AG}{2BG}=\frac{10\sqrt{10}\cdot 10\sqrt{15}}{2\cdot 10\sqrt{6}}=\frac{5\cdot \sqrt{2\cdot 5}\cdot \sqrt{3\cdot 5}}{\sqrt{2\cdot 3}}=5\cdot 5\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}=25$
Finalmente por Pitágoras $OB=\sqrt{OG^2+BG^2}=\sqrt{25^2+600}=35$
Queda Elegantemente Demostrado

Peznerd
Mensajes: 109
Registrado: Jue 07 Jul, 2016 1:04 pm
Nivel: 3
Contactar:

Re: Regional 2001 N3 P3

Mensaje sin leer por Peznerd » Sab 09 Nov, 2019 4:38 pm

JPablo escribió:
Spoiler: mostrar
Como $OA=OD=OT$ por ser radios de la circunferencia, entonces $OAD$ es isósceles y por lo tanto la mediana correspondiente a $O$ es perpendicular a $AD$. Sea $OM$ esa mediana. Entonces, como $OM\perp AB$ y $BC\perp AB$, además de que $AB\parallel OT$, el cuadrilátero $ABTO$ es un rectángulo. Entonces $OT=BM$.
Nunca justificaste que $AO \parallel BT$
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

Avatar de Usuario
JPablo
Mensajes: 356
Registrado: Lun 25 Mar, 2013 9:00 pm
Nivel: Exolímpico

Re: Regional 2001 N3 P3

Mensaje sin leer por JPablo » Mié 11 Dic, 2019 3:03 pm

Peznerd escribió:
Sab 09 Nov, 2019 4:38 pm
JPablo escribió:
Spoiler: mostrar
Como $OA=OD=OT$ por ser radios de la circunferencia, entonces $OAD$ es isósceles y por lo tanto la mediana correspondiente a $O$ es perpendicular a $AD$. Sea $OM$ esa mediana. Entonces, como $OM\perp AB$ y $BC\perp AB$, además de que $AB\parallel OT$, el cuadrilátero $ABTO$ es un rectángulo. Entonces $OT=BM$.
Nunca justificaste que $AO \parallel BT$
Es falso que $AO \parallel BT$. El problema es que escribí "cuadrilátero $ABTO$" cuando en realidad me refería a $MBTO$. Ya lo corregí (5 años después... :lol:). Era sencillo darse cuenta de la errata porque justo después digo que $OT=BM$ (y no $OT=BA$).

Responder