21º APMO (2009) - Problema 3

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Matías V5

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21º APMO (2009) - Problema 3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mar 24 Dic, 2013 3:54 pm

En el plano sean [math], [math], [math] circunferencias mutuamente exteriores dos a dos y que no se intersectan. Para cada punto [math] en el plano, afuera de las tres circunferencias, se construyen los puntos [math] de la siguiente manera: para cada [math], [math] son puntos distintos sobre la circunferencia [math], tales que las rectas [math] y [math] son ambas tangentes a [math]. Un punto [math] se dice que es excepcional si, en esa construcción, las tres rectas [math], [math], [math] son concurrentes. Demostrar que todos los puntos excepcionales del plano, si existen, están sobre una misma circunferencia.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Gianni De Rico

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Re: 21º APMO (2009) - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 10 Dic, 2018 5:46 am

Generalización:
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Llamamos circunferencia radical de tres circunferencias $\Gamma _1$, $\Gamma _2$ y $\Gamma _3$ a la circunferencia $\Gamma$ cuyo centro $O$ es el centro radical de $\Gamma _1$, $\Gamma _2$ y $\Gamma _3$ y su radio es la longitud del segmento tangente a $\Gamma _1$ desde $O$ (notar que si $OD$, $OE$, $OF$ son tangentes a $\Gamma _1$, $\Gamma _2$ y $\Gamma _3$ respectivamente, entonces $OD^2=\text{Pot}(O,\Gamma _1)=\text{Pot}(O,\Gamma _2)=OE^2\Rightarrow OD=OE$, y análogamente $OD=OF$, por lo que la curva es en efecto una circunferencia). Decimos que un punto $P$ es genial si las polares de $P$ respecto a $\Gamma _i$ concurren en un punto, luego, un punto excepcional es un punto genial.
Demostrar que el lugar geométrico de los puntos geniales (si existen) es la circunferencia radical de $\Gamma _1$, $\Gamma _2$ y $\Gamma _3$.
Solución:
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$\Rightarrow )$
Sea $p_i$ la polar de $P$ respecto a $\Gamma _i$.
Sean $P$ un punto genial, $Q=p_1\cap p_2\cap p_3$, $O$ el punto medio de $PQ$, $O_1$ el centro de $\Gamma _1$, $r_1$ el radio de $\Gamma _1$, $X$ el inverso de $P$ respecto a $\Gamma _1$, $\Gamma$ la circunferencia de diámetro $PQ$ y $r$ el radio de $\Gamma$.
Como $X$ es el inverso de $P$ respecto a $\Gamma _1$, entonces $X\in p_1$ y $PX\perp p_1\parallel XQ\Rightarrow X\in \Gamma$, además por definición de inverso se tiene $r_1^2=O_1X_1\cdot O_1P=\text{Pot}(O_1,\Gamma )=O_1O^2-r^2\Rightarrow r^2=O_1O^2-r_1^2=\text{Pot}(O,\Gamma _1)$. Análogamente $r^2=\text{Pot}(O,\Gamma _2)$ y $r^2=\text{Pot}(O,\Gamma _3)$, por lo tanto $O$ es el centro radical de $\Gamma _1$, $\Gamma _2$ y $\Gamma _3$, y como cualquier punto genial $P'$ verifica $OP'=r$, se sigue que todos están en $\Gamma$.

$\Leftarrow )$
Sea $P\in \Gamma$, $Q$ su opuesto diametral y $p_1$ la polar de $P$ respecto a $\Gamma _1$. Sea $T$ uno de los puntos de intersección de $\Gamma _1$ y $\Gamma$, como $OT$ es tangente a $\Gamma _1$, se sigue que $\Gamma$ y $\Gamma _1$ son ortogonales, luego, si $X$ es el inverso de $P$ respecto a $\Gamma _1$, tenemos que $X\in \Gamma$, además $PX\perp XQ$ pues $PQ$ es diámetro de $\Gamma$, luego $OX\perp XQ$ por lo que $XQ$ es la polar de $P$ respecto a $\Gamma _1$, es decir que $Q\in p_1$. Análogamente $Q\in p_2$ y $Q\in p_3$. Por lo tanto las polares de $P$ respecto a $\Gamma _i$ concurren en $Q$, y $P$ es un punto genial.
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[math]

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